Sorunun Çözümü
- Verilen ifade $A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 21$ şeklinde yazılabilir. Bu ifadeyi genel terimle $\sum_{k=1}^{20} k \cdot (k+1)$ olarak gösterebiliriz.
- Her terimin ikinci çarpanı 2 artırılırsa, yeni ifade $A'$ olur. Her $k \cdot (k+1)$ terimi $k \cdot (k+1+2) = k \cdot (k+3)$ haline gelir.
- Yeni ifade $A' = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + 20 \cdot 23$ şeklinde olur. Bunu $\sum_{k=1}^{20} k \cdot (k+3)$ olarak yazabiliriz.
- A'nın değerindeki artışı bulmak için $A' - A$ farkını hesaplamalıyız: $A' - A = \sum_{k=1}^{20} k \cdot (k+3) - \sum_{k=1}^{20} k \cdot (k+1)$
- Farkı birleştirelim ve basitleştirelim: $A' - A = \sum_{k=1}^{20} [k \cdot (k+3) - k \cdot (k+1)]$ $A' - A = \sum_{k=1}^{20} [k \cdot ((k+3) - (k+1))]$ $A' - A = \sum_{k=1}^{20} [k \cdot (k+3-k-1)]$ $A' - A = \sum_{k=1}^{20} [k \cdot 2]$ $A' - A = \sum_{k=1}^{20} 2k$
- Bu toplamı hesaplayalım: $A' - A = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 20)$ İlk $n$ doğal sayının toplamı formülü $\frac{n(n+1)}{2}$ kullanılarak: $1 + 2 + \dots + 20 = \frac{20 \cdot (20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2}$
- Sonucu bulalım: $A' - A = 2 \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} = 20 \cdot 21 = 420$
- Doğru Seçenek C'dır.