Soru Çözümü
- Verilen denklem $3a + 4b = 45$'tir. $a$ ve $b$ pozitif tam sayılardır.
- a'nın alabileceği en büyük değeri bulmak için $b$'nin en küçük pozitif tam sayı değerini alması gerekir.
- $3a = 45 - 4b$ ifadesinde, $a$ pozitif tam sayı olduğundan $45 - 4b > 0 \Rightarrow 4b < 45 \Rightarrow b < 11.25$ olmalıdır.
- Ayrıca, $a$'nın tam sayı olması için $45 - 4b$ ifadesi $3$'e tam bölünmelidir. $45$ sayısı $3$'e bölündüğü için $4b$ de $3$'e bölünmelidir. $4$ ve $3$ aralarında asal olduğundan, $b$ sayısı $3$'e tam bölünmelidir.
- $b < 11.25$ koşulunu sağlayan ve $3$'e bölünebilen en küçük pozitif tam sayı $b=3$'tür.
- $b=3$ için $3a + 4(3) = 45 \Rightarrow 3a + 12 = 45 \Rightarrow 3a = 33 \Rightarrow a = 11$. Bu durumda $a_{max} = 11$'dir.
- b'nin alabileceği en küçük değeri bulmak için yukarıdaki koşullara bakılır. $b$ pozitif tam sayı olmalı, $3$'e bölünmeli ve $b < 11.25$ olmalıdır. Bu koşulları sağlayan en küçük $b$ değeri $b=3$'tür. Yani $b_{min} = 3$'tür.
- Soru, $a$'nın alabileceği en büyük değerin ($a_{max}$) $b$'nin alabileceği en küçük değerden ($b_{min}$) kaç fazla olduğunu sormaktadır.
- Fark: $a_{max} - b_{min} = 11 - 3 = 8$.
- Doğru Seçenek D'dır.