Soru Çözümü
- Verilen ifadeyi $x = \frac{a}{b}$ olarak tanımlayalım. Bu durumda, $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = 9$ denklemi $x - \frac{1}{x} = 9$ şeklinde yazılır.
- Aranan ifade $\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}$ ise, bu da $x^2 + \frac{1}{x^2}$ şeklinde ifade edilebilir.
- $(x - \frac{1}{x})^2$ özdeşliğini kullanalım: $(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$.
- Bu özdeşlikten $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$ eşitliğini elde ederiz.
- Şimdi $x - \frac{1}{x} = 9$ değerini yerine koyalım: $x^2 + \frac{1}{x^2} = (9)^2 + 2$.
- Hesaplamayı yapalım: $81 + 2 = 83$.
- Doğru Seçenek D'dır.