Verilen eşitsizlikleri adım adım inceleyerek a, b ve c arasındaki sıralamayı bulalım.

• 1. Eşitsizlik: \(a < \sqrt{a}\)
• Karekökün tanımlı olması için \(a \ge 0\) olmalıdır.
• Eğer \(a=0\) ise \(0 < \sqrt{0} \Rightarrow 0 < 0\), bu yanlıştır.
• Eğer \(a=1\) ise \(1 < \sqrt{1} \Rightarrow 1 < 1\), bu yanlıştır.
• Eğer \(a > 1\) ise, örneğin \(a=4\), \(4 < \sqrt{4} \Rightarrow 4 < 2\), bu yanlıştır.
• Eğer \(0 < a < 1\) ise, örneğin \(a=0.25\), \(0.25 < \sqrt{0.25} \Rightarrow 0.25 < 0.5\), bu doğrudur.
• O halde, bu eşitsizlikten \(0 < a < 1\) sonucunu çıkarırız.
• 2. Eşitsizlik: \(c < a \cdot c\)
• Eşitsizliği düzenleyelim: \(c - a \cdot c < 0\)
• Ortak çarpan parantezine alalım: \(c(1 - a) < 0\)
• İlk eşitsizlikten \(0 < a < 1\) olduğunu biliyoruz. Bu durumda \(1 - a\) pozitif bir değerdir (\(1 - a > 0\)).
• \(c(1 - a) < 0\) eşitsizliğinin sağlanması için, pozitif olan \((1 - a)\) ile çarpıldığında sonucun negatif olması için \(c\) negatif olmalıdır.
• Yani, \(c < 0\) sonucunu elde ederiz.
• Şu ana kadar \(c < 0\) ve \(0 < a < 1\) bulduk. Bu da \(c < a\) anlamına gelir.
• 3. Eşitsizlik: \(\sqrt{a} < b - a\)
• Bu eşitsizliği \(b\) için düzenleyelim: \(a + \sqrt{a} < b\)
• İlk eşitsizlikten \(a < \sqrt{a}\) olduğunu biliyoruz.
• Ayrıca \(a > 0\) ve \(\sqrt{a} > 0\) olduğu için \(a + \sqrt{a}\) kesinlikle \(a\)'dan büyüktür.
• Yani, \(a < a + \sqrt{a}\).
• Eşitsizliğimiz \(a + \sqrt{a} < b\) olduğuna göre, \(a < b\) sonucunu çıkarırız.

Tüm bulguları birleştirelim:

• \(c < a\)
• \(a < b\)

Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde \(c < a < b\) sıralamasını elde ederiz.

Cevap C seçeneğidir.