Verilen eşitsizlik: \(a < b < 0 < c\)

Bu durumdan çıkarılabilecek bilgiler:

• \(a\) negatif bir sayıdır.
• \(b\) negatif bir sayıdır ve \(a\) sayısı \(b\)'den daha küçüktür (yani \(|a| > |b|\)).
• \(c\) pozitif bir sayıdır.

Şimdi her bir ifadeyi inceleyelim:

• I. \(a + c > 0\)
  \(a\) negatif, \(c\) pozitif. Bu toplamın işareti, \(|a|\) ve \(|c|\) değerlerinin büyüklüklerine bağlıdır.
  Örnek: \(a = -5, c = 1\). Bu durumda \(a+c = -4 < 0\).
  Örnek: \(a = -1, c = 5\). Bu durumda \(a+c = 4 > 0\).
  Bu ifade daima doğru değildir.
• II. \(b^2 < c^2\)
  \(b\) negatif, \(c\) pozitif. Bu eşitsizlik \(|b| < |c|\) anlamına gelir.
  Örnek: \(b = -2, c = 1\). Bu durumda \(b^2 = 4\), \(c^2 = 1\). Yani \(b^2 > c^2\).
  Örnek: \(b = -1, c = 2\). Bu durumda \(b^2 = 1\), \(c^2 = 4\). Yani \(b^2 < c^2\).
  Bu ifade daima doğru değildir.
• III. \(ab > bc\)
  Eşitsizliği yeniden düzenleyelim: \(ab - bc > 0 \Rightarrow b(a - c) > 0\).
  
  • \(b < 0\) olduğu için \(b\) negatiftir.
  • \(a < 0\) ve \(c > 0\) olduğundan, \(a - c\) ifadesi (negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında) daima negatif olacaktır. Yani \(a - c < 0\).
  Şimdi \(b(a - c) > 0\) ifadesini inceleyelim:
  \((negatif) \times (negatif) > 0\)
  \((pozitif) > 0\)
  Bu ifade daima doğrudur.
• Doğru Seçenek C'dır.