Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizlikler: $a^2b < ab^2 < 0$.
- Öncelikle $ab^2 < 0$ eşitsizliğini inceleyelim. $b^2 \ge 0$ ve $b \ne 0$ (çünkü $ab^2 < 0$). Bu durumda $b^2 > 0$ olmalıdır. Eşitsizliğin sağlanması için $a < 0$ olmalıdır.
- Şimdi $a^2b < 0$ eşitsizliğini inceleyelim. $a < 0$ olduğu için $a^2 > 0$ olmalıdır. Eşitsizliğin sağlanması için $b < 0$ olmalıdır.
- Yani, $a < 0$ ve $b < 0$.
- $a^2b < ab^2$ eşitsizliğini inceleyelim. $a < 0$ ve $b < 0$ olduğu için $ab > 0$'dır. Eşitsizliğin her iki tarafını $ab$ ile bölersek eşitsizlik yön değiştirmez:
$\frac{a^2b}{ab} < \frac{ab^2}{ab}$
$a < b$. - Şimdi verilen ifadeleri kontrol edelim:
- I. $a - b < 0$: $a < b$ olduğundan, her iki taraftan $b$ çıkarırsak $a - b < 0$ elde ederiz. Bu ifade doğrudur.
- II. $a + b < 0$: $a < 0$ ve $b < 0$ olduğundan, iki negatif sayının toplamı her zaman negatiftir. Yani $a + b < 0$. Bu ifade doğrudur.
- III. $\frac{a}{b} < 0$: $a < 0$ ve $b < 0$ olduğundan, iki negatif sayının bölümü her zaman pozitiftir. Yani $\frac{a}{b} > 0$. Bu ifade yanlıştır.
- Doğru Seçenek C'dır.