Verilen bilgiler:

• a, b ve c birer gerçek sayıdır.
• \(a < b < 0\)
• \(b \cdot c = a + 4b\)

c'nin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak için, öncelikle c'yi a ve b cinsinden ifade edelim:

• Denklem: \(b \cdot c = a + 4b\)
• Her iki tarafı b'ye bölelim. \(b < 0\) olduğu için b sıfırdan farklıdır ve bölme işlemi yapılabilir:
• \(c = \frac{a + 4b}{b}\)
• Bu ifadeyi ayırırsak: \(c = \frac{a}{b} + \frac{4b}{b}\)
• Yani, \(c = \frac{a}{b} + 4\)

Şimdi \(a < b < 0\) eşitsizliğini kullanarak \(\frac{a}{b}\) ifadesinin aralığını bulalım:

• Verilen eşitsizlik: \(a < b\)
• Her iki tarafı b'ye bölelim. b negatif bir sayı olduğu için eşitsizlik yön değiştirecektir:
• \(\frac{a}{b} > \frac{b}{b}\)
• \(\frac{a}{b} > 1\)

Bulduğumuz \(\frac{a}{b} > 1\) eşitsizliğini c'nin ifadesinde yerine koyalım:

• \(c = \frac{a}{b} + 4\)
• \(\frac{a}{b} > 1\) olduğundan:
• \(c > 1 + 4\)
• \(c > 5\)

c'nin 5'ten büyük olduğu bilindiğine göre, c'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 6'dır.

Cevap D seçeneğidir.