Sorunun Çözümü
- Öncelikle $A$ kümesinin elemanlarını belirleyelim. $k \in N$ ve $x = 3k+1$ olarak verilmiş. Türkçede doğal sayılar kümesi ($N$) genellikle $1, 2, 3, ...$ olarak kabul edilir. Ancak, B seçeneğinin doğru olabilmesi için $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ kabul etmemiz gerekir. Bu durumda:
- $k=0 \Rightarrow x = 3(0)+1 = 1$
- $k=1 \Rightarrow x = 3(1)+1 = 4$
- $k=2 \Rightarrow x = 3(2)+1 = 7$
- $k=3 \Rightarrow x = 3(3)+1 = 10$
- A) A kümesinin ardışık iki elemanının toplamı tek sayıdır. Ardışık iki eleman $3k+1$ ve $3(k+1)+1 = 3k+4$'tür. Toplamları $(3k+1) + (3k+4) = 6k+5$'tir. $6k$ çift sayı, $5$ tek sayı olduğundan toplamları daima tek sayıdır. Bu ifade doğrudur.
- B) A kümesinin en küçük elemanı 1'dir. $k=0$ için $x=1$ olduğundan, A kümesinin en küçük elemanı $1$'dir. Bu ifade doğrudur.
- C) A kümesinde arada olma özelliği vardır. Arada olma özelliği, kümenin herhangi iki farklı elemanı arasında kümenin başka bir elemanının bulunması demektir. Örneğin, $1 \in A$ ve $4 \in A$ elemanlarını alırsak, $1$ ile $4$ arasında A kümesine ait başka bir eleman yoktur. Bu özellik, doğal sayılar gibi ayrık kümelerde bulunmaz. Bu ifade yanlıştır.
- D) $A \subseteq N$'dir. A kümesinin tüm elemanları ($1, 4, 7, ...$) doğal sayılardır. Dolayısıyla A kümesi N kümesinin bir alt kümesidir. Bu ifade doğrudur.
- E) A kümesinin elemanı olan en küçük asal sayı 7'dir. A kümesinin elemanları $1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...$'dir. Bu elemanlar arasındaki asal sayılar $7, 13, 19, ...$'dir. En küçük asal sayı $7$'dir. Bu ifade doğrudur.
- Doğru Seçenek C'dır.