Sorunun Çözümü
- Verilen küme $A = \{x | x = 2k + 1, k \in N\}$ şeklindedir. $N = \{1, 2, 3, ...\}$ olarak kabul edildiğinde, $A = \{3, 5, 7, 9, ...\}$ yani $3$'ten büyük veya eşit tek doğal sayılar kümesidir.
- I. Toplama işlemi:
- $x_1, x_2 \in A$ olsun. $x_1 = 2k_1 + 1$ ve $x_2 = 2k_2 + 1$ ($k_1, k_2 \in N$).
- $x_1 + x_2 = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1) = 2k_1 + 2k_2 + 2 = 2(k_1 + k_2 + 1)$.
- Bu sonuç bir çift sayıdır. Örneğin, $3 + 5 = 8$. $8 \notin A$.
- Küme toplama işlemine göre kapalı değildir.
- II. Çıkarma işlemi:
- $x_1, x_2 \in A$ olsun. $x_1 = 2k_1 + 1$ ve $x_2 = 2k_2 + 1$ ($k_1, k_2 \in N$).
- $x_1 - x_2 = (2k_1 + 1) - (2k_2 + 1) = 2k_1 - 2k_2 = 2(k_1 - k_2)$.
- Bu sonuç bir çift sayıdır. Örneğin, $5 - 3 = 2$. $2 \notin A$.
- Küme çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
- III. Çarpma işlemi:
- $x_1, x_2 \in A$ olsun. $x_1 = 2k_1 + 1$ ve $x_2 = 2k_2 + 1$ ($k_1, k_2 \in N$).
- $x_1 \cdot x_2 = (2k_1 + 1)(2k_2 + 1) = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1 = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$.
- $K = 2k_1k_2 + k_1 + k_2$ bir doğal sayıdır ($k_1, k_2 \in N$ olduğundan $K \in N$).
- Sonuç $2K + 1$ formunda bir tek sayıdır ve $K \in N$ olduğundan $2K+1 \in A$.
- Küme çarpma işlemine göre kapalıdır.
- Doğru Seçenek C'dır.