Sorunun Çözümü
- Verilen küme $A = \{x | x = 3k, k \in Z\}$ ifadesi, $A$'nın $3$'ün tam katlarından oluşan bir küme olduğunu belirtir.
- I. Toplama işlemine göre kapalılık: $x_1, x_2 \in A$ için $x_1 = 3k_1$ ve $x_2 = 3k_2$ olsun. Toplamları $x_1 + x_2 = 3k_1 + 3k_2 = 3(k_1 + k_2)$ olur. $k_1 + k_2$ bir tam sayı olduğundan, $x_1 + x_2$ de $3$'ün bir katıdır ve $A$'ya aittir. Dolayısıyla I doğrudur.
- II. Çıkarma işlemine göre kapalılık: $x_1, x_2 \in A$ için $x_1 = 3k_1$ ve $x_2 = 3k_2$ olsun. Farkları $x_1 - x_2 = 3k_1 - 3k_2 = 3(k_1 - k_2)$ olur. $k_1 - k_2$ bir tam sayı olduğundan, $x_1 - x_2$ de $3$'ün bir katıdır ve $A$'ya aittir. Küme çıkarma işlemine göre kapalıdır. Bu nedenle "kapalı değildir" ifadesi yanlıştır.
- III. Çarpma işlemine göre kapalılık: $x_1, x_2 \in A$ için $x_1 = 3k_1$ ve $x_2 = 3k_2$ olsun. Çarpımları $x_1 \cdot x_2 = (3k_1)(3k_2) = 9k_1k_2 = 3(3k_1k_2)$ olur. $3k_1k_2$ bir tam sayı olduğundan, $x_1 \cdot x_2$ de $3$'ün bir katıdır ve $A$'ya aittir. Dolayısıyla III doğrudur.
- Doğru Seçenek E'dır.