Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizliği iki parçaya ayıralım: $ \frac{1}{12} \le \frac{2}{3x-6} $ ve $ \frac{2}{3x-6} < \frac{1}{6} $.
- İlk eşitsizliği çözelim: $ \frac{1}{12} \le \frac{2}{3x-6} $.
- Sol taraf pozitif olduğu için $ \frac{2}{3x-6} $ de pozitif olmalıdır. Bu durumda $ 3x-6 > 0 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2 $.
- Eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini alırsak eşitsizlik yön değiştirir: $ 12 \ge \frac{3x-6}{2} $.
- Her iki tarafı $2$ ile çarpalım: $ 24 \ge 3x-6 $.
- $ 30 \ge 3x \Rightarrow 10 \ge x $.
- Bu durumda, ilk eşitsizlikten $ 2 < x \le 10 $ elde edilir.
- İkinci eşitsizliği çözelim: $ \frac{2}{3x-6} < \frac{1}{6} $.
- Önceki adımdan $ x > 2 $ olduğunu biliyoruz, bu da $ 3x-6 > 0 $ demektir.
- Eşitsizliğin her iki tarafını $ 6(3x-6) $ ile çarpalım (pozitif olduğu için yön değişmez): $ 6 \cdot 2 < 1 \cdot (3x-6) $.
- $ 12 < 3x-6 $.
- $ 18 < 3x \Rightarrow 6 < x $.
- Her iki eşitsizliğin çözüm kümelerini birleştirelim: $ (2 < x \le 10) $ ve $ (x > 6) $. Bu iki koşulu sağlayan aralık $ 6 < x \le 10 $ olur.
- $x$'in en küçük doğal sayı değerini bulalım. $x$ doğal sayı olduğu için $x$ değerleri $7, 8, 9, 10$ olabilir. Bu değerler arasındaki en küçük doğal sayı $7$'dir.
- Doğru Seçenek C'dır.