Verilen eşitsizlikler:
- \( 6 < x < 12 \)
- \( 2 < y < 3 \)
Bizden \( \frac{x}{y} \) ifadesinin en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı isteniyor.
Adım 1: \( \frac{x}{y} \) ifadesinin aralığını bulma.
\( \frac{x}{y} \) ifadesinin aralığını bulmak için, x'in aralığını ve \( \frac{1}{y} \)'nin aralığını çarpabiliriz. Öncelikle \( \frac{1}{y} \)'nin aralığını bulalım:
- \( 2 < y < 3 \)
- Eşitsizliğin her iki tarafının çarpmaya göre tersini aldığımızda, eşitsizlik yön değiştirir:
- \( \frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2} \)
Şimdi \( x \) ve \( \frac{1}{y} \) aralıklarını çarpalım. Tüm sınırlar pozitif olduğu için, en küçük değerleri çarparak alt sınırı, en büyük değerleri çarparak üst sınırı buluruz:
- \( 6 < x < 12 \)
- \( \frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2} \)
- \( 6 \cdot \frac{1}{3} < x \cdot \frac{1}{y} < 12 \cdot \frac{1}{2} \)
- \( 2 < \frac{x}{y} < 6 \)
Adım 2: \( \frac{x}{y} \) ifadesinin en büyük tam sayı değerini bulma.
\( \frac{x}{y} < 6 \) olduğundan, \( \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 5'tir.
Adım 3: \( \frac{x}{y} \) ifadesinin en küçük tam sayı değerini bulma.
\( \frac{x}{y} > 2 \) olduğundan, \( \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri 3'tür.
Adım 4: En büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını bulma.
En büyük tam sayı değeri (5) ile en küçük tam sayı değerinin (3) toplamı:
- \( 5 + 3 = 8 \)
Cevap B seçeneğidir.