Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizlik: $-1 < a < b < 0 < c < 1$.
Bu durumdan çıkarımlar:- $a$ ve $b$ negatif sayılardır. ($a < b < 0$)
- $c$ pozitif bir sayıdır ve $0 < c < 1$ aralığındadır.
- $a < c$ ve $b < c$ olduğu açıktır.
- A) $(a - b) \cdot (c - b) < 0$
- $a < b$ olduğundan, $a - b$ negatiftir. ($a - b < 0$)
- $b < 0$ ve $c > 0$ olduğundan, $c - b$ pozitiftir. ($c - b > 0$)
- (Negatif) $\cdot$ (Pozitif) = Negatif. Yani $(a - b) \cdot (c - b) < 0$ daima doğrudur.
- B) $c > \frac{1}{a}$
- $a$ negatif bir sayı olduğundan ($-1 < a < 0$), $\frac{1}{a}$ da negatif bir sayıdır.
- $c$ pozitif bir sayıdır ($0 < c < 1$).
- Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyüktür. Bu nedenle $c > \frac{1}{a}$ daima doğrudur.
- C) $a - 5 < c - 5$
- Eşitsizliğin her iki tarafına 5 eklersek $a < c$ elde ederiz.
- Verilen eşitsizlikten ($a < b < 0 < c < 1$) doğrudan $a < c$ olduğu görülür.
- Bu nedenle $a - 5 < c - 5$ daima doğrudur.
- D) $b \cdot c < a \cdot c$
- Verilen eşitsizlikten $a < b$ olduğunu biliyoruz.
- Ayrıca $0 < c < 1$ olduğundan $c$ pozitif bir sayıdır.
- Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizliğin yönü değişmez.
- Dolayısıyla, $a < b$ ve $c > 0$ ise, $a \cdot c < b \cdot c$ olmalıdır.
- Seçenek D'deki ifade $b \cdot c < a \cdot c$ ise bunun tam tersidir.
- Bu nedenle $b \cdot c < a \cdot c$ daima yanlıştır.
- E) $a < \frac{b}{c}$
- $a < b < 0$ ve $0 < c < 1$ olduğunu biliyoruz.
- $b$ negatif ve $c$ pozitif olduğundan $\frac{b}{c}$ negatiftir.
- $0 < c < 1$ olduğundan, $\frac{1}{c} > 1$ olur.
- $b < 0$ olduğu için, $b \cdot \frac{1}{c} < b \cdot 1 \Rightarrow \frac{b}{c} < b$ olur.
- Yani $\frac{b}{c}$ sayısı $b$'den daha küçüktür (daha negatiftir).
- Bizim $a < b$ ilişkimiz var. $a$ ile $\frac{b}{c}$ arasındaki ilişkiyi inceleyelim:
- Örnek: $a = -0.3$, $b = -0.2$, $c = 0.5$. Bu değerler verilen koşulu sağlar ($-1 < -0.3 < -0.2 < 0 < 0.5 < 1$).
- Bu durumda $\frac{b}{c} = \frac{-0.2}{0.5} = -0.4$.
- $a = -0.3$ ve $\frac{b}{c} = -0.4$. Burada $a > \frac{b}{c}$ olur (yani $-0.3 > -0.4$). Bu durumda E seçeneği yanlıştır.
- Örnek: $a = -0.8$, $b = -0.5$, $c = 0.1$. Bu değerler verilen koşulu sağlar ($-1 < -0.8 < -0.5 < 0 < 0.1 < 1$).
- Bu durumda $\frac{b}{c} = \frac{-0.5}{0.1} = -5$.
- $a = -0.8$ ve $\frac{b}{c} = -5$. Burada $a > \frac{b}{c}$ olur (yani $-0.8 > -5$). Bu durumda E seçeneği yanlıştır.
- Örnek: $a = -0.3$, $b = -0.1$, $c = 0.5$. Bu değerler verilen koşulu sağlar ($-1 < -0.3 < -0.1 < 0 < 0.5 < 1$).
- Bu durumda $\frac{b}{c} = \frac{-0.1}{0.5} = -0.2$.
- $a = -0.3$ ve $\frac{b}{c} = -0.2$. Burada $a < \frac{b}{c}$ olur (yani $-0.3 < -0.2$). Bu durumda E seçeneği doğrudur.
- Görüldüğü gibi E seçeneği bazen doğru, bazen yanlış olabilir. Bu nedenle daima yanlış değildir.
- Doğru Seçenek D'dir.