Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizlik $x < x - y < y$ ifadesini iki parçaya ayıralım:
- Birinci parça: $x < x - y$
- Her iki taraftan $x$ çıkarırsak: $0 < -y$
- Her iki tarafı $-1$ ile çarparsak ve eşitsizliği ters çevirirsek: $0 > y$, yani $y < 0$ bulunur.
- İkinci parça: $x - y < y$
- Her iki tarafa $y$ eklersek: $x < 2y$ bulunur.
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $x > 0$: $x < 2y$ ve $y < 0$ olduğundan $x$ negatif olmalıdır. Bu nedenle $x > 0$ daima doğru değildir.
- B) $x > y$: $x < 2y$ ve $y < 0$ koşullarını sağlayan $x = -3$, $y = -1$ gibi değerler için $x < y$ ($ -3 < -1 $) olur. Bu nedenle $x > y$ daima doğru değildir.
- C) $x^2 < y^2$: $x = -3$, $y = -1$ için $x^2 = 9$ ve $y^2 = 1$ olur. $9 < 1$ yanlıştır. Bu nedenle $x^2 < y^2$ daima doğru değildir.
- D) $2y - x > 0$: İkinci parçadan $x < 2y$ bulmuştuk. Bu ifadeyi düzenlersek $0 < 2y - x$ veya $2y - x > 0$ elde ederiz. Bu ifade daima doğrudur.
- E) $x + y > 0$: $x < 2y$ ve $y < 0$ olduğundan, $x$ ve $y$ negatif sayılardır. İki negatif sayının toplamı da negatif olacağından $x + y < 0$ olur. Bu nedenle $x + y > 0$ daima doğru değildir.
- Doğru Seçenek D'dır.