Verilen işlemde, her adımda bir kapalı aralık üç eşit parçaya bölünüyor ve ortadaki parça çıkarılıyor. Bu durumda, her bir aralığın uzunluğu üçte birine düşerken, aralık sayısı iki katına çıkar.

• Başlangıç: Bir `[a, b]` aralığı var. Uzunluğu $L = b - a$. Aralık sayısı $N_0 = 1$.
• 1. adım: Her bir aralık (başlangıçta 1 tane) üç eşit parçaya bölünür ve ortadaki çıkarılır.
  • Her bir yeni aralığın uzunluğu: $L_1 = \frac{L}{3}$.
  • Toplam aralık sayısı: $N_1 = 2 \times N_0 = 2$.
• 2. adım: Her bir aralık (2 tane) tekrar üç eşit parçaya bölünür ve ortadaki çıkarılır.
  • Her bir yeni aralığın uzunluğu: $L_2 = \frac{L_1}{3} = \frac{L/3}{3} = \frac{L}{3^2} = \frac{L}{9}$.
  • Toplam aralık sayısı: $N_2 = 2 \times N_1 = 2 \times 2 = 4$.
• Genel olarak `k`. adımda:
  • Her bir aralığın uzunluğu: $L_k = \frac{L}{3^k}$.
  • Toplam aralık sayısı: $N_k = 2^k$.
• 4. adımda:
  • Her bir aralığın uzunluğu: $L_4 = \frac{L}{3^4} = \frac{L}{81}$.
  • Toplam aralık sayısı: $N_4 = 2^4 = 16$.

Soruda, 4. adımda elde edilen motifteki kapalı aralıkların her birinin uzunluğunun birim cinsinden tam sayı olması isteniyor. Bu durumda $L_4 = \frac{L}{81}$ ifadesinin bir tam sayı olması gerekir. Yani, başlangıçtaki aralığın uzunluğu $L = b - a$, 81'in tam katı olmalıdır.

Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

• A) [2, 164]: $L = 164 - 2 = 162$. $L_4 = \frac{162}{81} = 2$. Bu bir tam sayıdır.
• B) [2, 110]: $L = 110 - 2 = 108$. $L_4 = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}$. Bu bir tam sayı değildir.
• C) [5, 95]: $L = 95 - 5 = 90$. $L_4 = \frac{90}{81} = \frac{10}{9}$. Bu bir tam sayı değildir.
• D) [10, 70]: $L = 70 - 10 = 60$. $L_4 = \frac{60}{81} = \frac{20}{27}$. Bu bir tam sayı değildir.
• E) [3, 39]: $L = 39 - 3 = 36$. $L_4 = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}$. Bu bir tam sayı değildir.

Sadece A seçeneğindeki aralığın uzunluğu 81'in tam katıdır ve bu da 4. adımdaki her bir aralığın uzunluğunun tam sayı olmasını sağlar.

Cevap A seçeneğidir.