Verilen eşitsizlik bir mutlak değer eşitsizliğidir ve şu şekildedir:

$$ \left|x - \frac{1}{2}\right| > 4 $$

Mutlak değer eşitsizliklerinde, $|u| > a$ (burada $a > 0$) biçimindeki bir ifade, $u < -a$ veya $u > a$ olarak iki ayrı eşitsizliğe ayrılır.

Bu durumda, $u = x - \frac{1}{2}$ ve $a = 4$ olduğundan, iki ayrı eşitsizlik kurarız:

• Birinci Eşitsizlik:

$$ x - \frac{1}{2} < -4 $$

Eşitsizliğin her iki tarafına $\frac{1}{2}$ ekleyelim:

$$ x < -4 + \frac{1}{2} $$

Paydaları eşitleyelim:

$$ x < -\frac{8}{2} + \frac{1}{2} $$

$$ x < -\frac{7}{2} $$

Bu eşitsizliğin çözüm aralığı $(-\infty, -\frac{7}{2})$'dir.

• İkinci Eşitsizlik:

$$ x - \frac{1}{2} > 4 $$

Eşitsizliğin her iki tarafına $\frac{1}{2}$ ekleyelim:

$$ x > 4 + \frac{1}{2} $$

Paydaları eşitleyelim:

$$ x > \frac{8}{2} + \frac{1}{2} $$

$$ x > \frac{9}{2} $$

Bu eşitsizliğin çözüm aralığı $(\frac{9}{2}, \infty)$'dir.

Mutlak değer eşitsizliğinin genel çözüm aralığı, bu iki aralığın birleşimidir. Yani:

$$ \left(-\infty, -\frac{7}{2}\right) \cup \left(\frac{9}{2}, \infty\right) $$

Bu çözüm aralığı seçenekler arasında A seçeneğinde bulunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.