Sorunun Çözümü
- Verilen aralıkları belirleyelim:
- $A = (-2\sqrt{6}, \frac{9}{2}]$
- $B = [-\frac{5}{2}, 3\sqrt{5})$
- Yaklaşık değerleri bulalım:
- $-2\sqrt{6} \approx -2 \times 2.449 = -4.898$
- $\frac{9}{2} = 4.5$
- $-\frac{5}{2} = -2.5$
- $3\sqrt{5} \approx 3 \times 2.236 = 6.708$
- I. ifadeyi kontrol edelim: $A \cap B$
- $A = (-4.898, 4.5]$ ve $B = [-2.5, 6.708)$
- Kesişim, aralıkların ortak kısmıdır. Başlangıç noktası $\max(-2\sqrt{6}, -\frac{5}{2}) = -\frac{5}{2}$ (dahil). Bitiş noktası $\min(\frac{9}{2}, 3\sqrt{5}) = \frac{9}{2}$ (dahil).
- Bu durumda $A \cap B = [-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}]$.
- I. ifade doğrudur.
- II. ifadeyi kontrol edelim: $A \setminus B$
- $A \setminus B$, A'da olup B'de olmayan elemanlardır.
- $A = (-2\sqrt{6}, \frac{9}{2}]$ ve $B = [-\frac{5}{2}, 3\sqrt{5})$
- Aralık $A$'dan $B$'nin elemanlarını çıkarırsak, $-2\sqrt{6}$'dan $-\frac{5}{2}$'ye kadar olan kısım kalır. $-\frac{5}{2}$ B'de olduğu için $A \setminus B$'de yer almaz.
- Bu durumda $A \setminus B = (-2\sqrt{6}, -\frac{5}{2})$.
- II. ifade yanlıştır.
- III. ifadeyi kontrol edelim: $(B \setminus A) \cap Z$
- $B \setminus A$, B'de olup A'da olmayan elemanlardır.
- $B = [-\frac{5}{2}, 3\sqrt{5})$ ve $A = (-2\sqrt{6}, \frac{9}{2}]$
- Aralık $B$'den $A$'nın elemanlarını çıkarırsak, $\frac{9}{2}$'den $3\sqrt{5}$'e kadar olan kısım kalır. $\frac{9}{2}$ A'da olduğu için $B \setminus A$'da yer almaz.
- Bu durumda $B \setminus A = (\frac{9}{2}, 3\sqrt{5})$.
- Yaklaşık değerlerle $B \setminus A = (4.5, 6.708)$.
- Bu aralıktaki tam sayılar $5$ ve $6$'dır. Yani küme $\{5, 6\}$'dır.
- Küme 2 elemanlıdır.
- III. ifade doğrudur.
- Doğru Seçenek C'dır.