Soru Çözümü
- Verilen ifadelerdeki her bir terimi genelleştirelim: $ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} $.
- Bu terimi paydanın eşleniği olan $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $ ile çarpıp bölelim: $ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \times \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} $ $ = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2} $ $ = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+1 - n} $ $ = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $
- Şimdi bu kuralı her bir terime uygulayalım: $ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \sqrt{1} $ $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $ $ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} $ ... $ \frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}} = \sqrt{81} - \sqrt{80} $
- Tüm bu terimleri topladığımızda bir teleskopik toplam elde ederiz: $ (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{81} - \sqrt{80}) $ Bu toplamda ara terimler birbirini götürür.
- Geriye kalan terimler: $ -\sqrt{1} + \sqrt{81} $.
- Değerleri yerine yazalım: $ -1 + 9 = 8 $.
- Doğru Seçenek B'dır.