Soru Çözümü
- Verilen ifadeyi paydaları eşitlemek için genişletelim. İlk kesri $ (\sqrt{2} + 1) $ ile, ikinci kesri $ (\sqrt{2} - 1) $ ile çarpalım: $ \frac{(\sqrt{2} + 1)^2 (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} - \frac{(\sqrt{2} - 1)^2 (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} $
- Paydaları çarptığımızda $ (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 $ elde ederiz.
- İfade bu durumda $ (\sqrt{2} + 1)^3 - (\sqrt{2} - 1)^3 $ haline gelir.
- $ (a+b)^3 - (a-b)^3 = 2b(3a^2 + b^2) $ özdeşliğini kullanalım. Burada $ a=\sqrt{2} $ ve $ b=1 $.
- Değerleri özdeşlikte yerine koyalım: $ 2(1)(3(\sqrt{2})^2 + 1^2) $
- İşlemi tamamlayalım: $ 2(3 \cdot 2 + 1) = 2(6 + 1) = 2(7) = 14 $
- Doğru Seçenek D'dır.