Soru Çözümü
- Verilen $a$ ifadesinin paydasını eşleniği ile çarparak düzenleyelim: $a = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{7} - 1} \cdot \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1}$ $a = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2}$ $a = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{3} + \sqrt{7} + 1}{7 - 1}$ $a = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{3} + \sqrt{7} + 1}{6}$
- Bulmak istediğimiz ifadeyi $X$ olarak adlandıralım ve paydasını eşleniği ile çarparak düzenleyelim: $X = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ $X = \frac{(\sqrt{7} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$ $X = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{3 - 1}$ $X = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7} + \sqrt{3} + 1}{2}$
- Düzenlenmiş $a$ ve $X$ ifadelerinin pay kısımları aynıdır. Bu pay kısmına $P$ diyelim: $P = \sqrt{21} + \sqrt{3} + \sqrt{7} + 1$ Buna göre $a = \frac{P}{6}$ ve $X = \frac{P}{2}$ olur.
- $X$ ifadesini $a$ cinsinden yazmak için $P$ değerini $a$ cinsinden bulalım: $a = \frac{P}{6} \implies P = 6a$ Şimdi $P$ değerini $X$ ifadesinde yerine koyalım: $X = \frac{6a}{2}$ $X = 3a$
- Doğru Seçenek A'dır.