Soru Çözümü
- Verilen ifadeleri basitleştirelim:
- $a = \sqrt{2} + \sqrt{45} = \sqrt{2} + \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{2} + 3\sqrt{5}$
- $b = \sqrt{5} + \sqrt{18} = \sqrt{5} + \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{5} + 3\sqrt{2}$
- $c = \sqrt{8} + \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$
- Sayıları karşılaştırmak için karelerini alalım:
- $a^2 = (\sqrt{2} + 3\sqrt{5})^2 = 2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 2 + 6\sqrt{10} + 45 = 47 + 6\sqrt{10}$
- $b^2 = (\sqrt{5} + 3\sqrt{2})^2 = 5 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 5 + 6\sqrt{10} + 18 = 23 + 6\sqrt{10}$
- $c^2 = (2\sqrt{2} + 2\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 8 + 8\sqrt{10} + 20 = 28 + 8\sqrt{10}$
- Kareleri karşılaştıralım:
- $a^2$ ve $b^2$ için: $47 + 6\sqrt{10}$ ile $23 + 6\sqrt{10}$ karşılaştırılır. $47 > 23$ olduğundan $a^2 > b^2$, yani $a > b$.
- $b^2$ ve $c^2$ için: $23 + 6\sqrt{10}$ ile $28 + 8\sqrt{10}$ karşılaştırılır. $23 < 28 + 2\sqrt{10}$ olduğundan $b^2 < c^2$, yani $b < c$.
- $a^2$ ve $c^2$ için: $47 + 6\sqrt{10}$ ile $28 + 8\sqrt{10}$ karşılaştırılır. $19$ ile $2\sqrt{10}$ karşılaştırılır. Kareleri alınırsa $19^2 = 361$ ve $(2\sqrt{10})^2 = 40$. $361 > 40$ olduğundan $19 > 2\sqrt{10}$, yani $a^2 > c^2$, dolayısıyla $a > c$.
- Elde edilen sıralamaları birleştirelim: $b < c$ ve $c < a$ (çünkü $a > c$).
- Sonuç olarak sıralama $b < c < a$ şeklindedir.
- Doğru Seçenek D'dır.