Verilen eşitsizliği adım adım çözelim:

• Eşitsizliği yeniden düzenleyelim: $$3^a - 4 > 3^{-a} + 1$$ $$3^a - 4 > \frac{1}{3^a} + 1$$
• $x = 3^a$ dönüşümünü yapalım. $3^a$ her zaman pozitif olduğundan, $x > 0$ olacaktır. $$x - 4 > \frac{1}{x} + 1$$
• Terimleri bir tarafa toplayalım: $$x - 4 - 1 > \frac{1}{x}$$ $$x - 5 > \frac{1}{x}$$
• Eşitsizliğin her iki tarafını $x$ ile çarpalım. $x > 0$ olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez: $$x(x - 5) > 1$$ $$x^2 - 5x > 1$$ $$x^2 - 5x - 1 > 0$$
• Bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım. $x^2 - 5x - 1 = 0$ denkleminin kökleri: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2}$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$$ Kökler $x_1 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$ ve $x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}$'dir.
• $x^2 - 5x - 1 > 0$ eşitsizliği, $x < x_1$ veya $x > x_2$ olduğunda sağlanır. $\sqrt{29}$ yaklaşık olarak $5.385$ olduğundan: $x_1 \approx \frac{5 - 5.385}{2} \approx -0.1925$ $x_2 \approx \frac{5 + 5.385}{2} \approx 5.1925$ Yani, $x < -0.1925$ veya $x > 5.1925$.
• $x = 3^a$ olduğu ve $3^a$ her zaman pozitif olduğu için $x < -0.1925$ durumu mümkün değildir. Bu nedenle, $x > 5.1925$ olmalıdır. $$3^a > 5.1925$$
• $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmak için $3^a$ değerlerini kontrol edelim:
  • $a=1$ için, $3^1 = 3$. $3 > 5.1925$ yanlıştır.
  • $a=2$ için, $3^2 = 9$. $9 > 5.1925$ doğrudur.
  Bu durumda, $a$'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri $2$'dir.
• Doğru Seçenek C'dır.