Bu soruyu çözmek için, tablonun her satırında verilen kuralı uygulamalı ve bilinmeyen m ve n değerlerini bulmalıyız. Kurala göre, aynı satır üzerindeki birinci sütundaki sayı ile ikinci sütundaki sayının çarpımı üçüncü sütundaki sayıyı vermektedir.

• 1. Adım: m değerini bulma (Birinci satır)

Birinci satırdaki kuralı uygulayalım:

\(9^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 4^m\)

Sayıları ortak tabanlara (2 ve 3) dönüştürelim:

\((3^2)^2 \times (3^{-1})^3 = (2^2)^m\)

\(3^4 \times 3^{-3} = 2^{2m}\)

Üslü sayı özelliklerini kullanarak sol tarafı sadeleştirelim:

\(3^{4-3} = 2^{2m}\)

\(3^1 = 2^{2m}\)

\(3 = 2^{2m}\)

m değerini bulmak için her iki tarafın 2 tabanında logaritmasını alalım:

\(\log_2 3 = \log_2 (2^{2m})\)

\(\log_2 3 = 2m\)

Buradan m değeri:

\(m = \frac{\log_2 3}{2}\)

• 2. Adım: n değerini bulma (İkinci satır)

İkinci satırdaki kuralı uygulayalım:

\(3^n \times 9^n = 2\)

Sayıları ortak tabana (3) dönüştürelim:

\(3^n \times (3^2)^n = 2\)

\(3^n \times 3^{2n} = 2\)

Üslü sayı özelliklerini kullanarak sol tarafı sadeleştirelim:

\(3^{n+2n} = 2\)

\(3^{3n} = 2\)

n değerini bulmak için her iki tarafın 3 tabanında logaritmasını alalım:

\(\log_3 (3^{3n}) = \log_3 2\)

\(3n = \log_3 2\)

Buradan n değeri:

\(n = \frac{\log_3 2}{3}\)

• 3. Adım: Soru işaretinin (?) değerini bulma (Üçüncü satır)

Üçüncü satırdaki kurala göre soru işareti (?) m ile n'nin çarpımına eşittir:

\(? = m \times n\)

Bulduğumuz m ve n değerlerini yerine koyalım:

\(? = \left(\frac{\log_2 3}{2}\right) \times \left(\frac{\log_3 2}{3}\right)\)

Çarpma işlemini düzenleyelim:

\(? = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \log_2 3 \times \log_3 2\)

Logaritma özelliklerinden biliyoruz ki \(\log_b a \times \log_a b = 1\). Bu durumda \(\log_2 3 \times \log_3 2 = 1\).

\(? = \frac{1}{6} \times 1\)

\(? = \frac{1}{6}\)

Cevap C seçeneğidir.