Sorunun Çözümü
- Verilen ilk denklem: `$4^{m+1} = 27$`.
- Denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım: `$\log(4^{m+1}) = \log(27)$`.
- Logaritma özelliğini kullanarak üssü başa indirelim: `$(m+1)\log(4) = \log(27)$`.
- `$4 = 2^2$` ve `$27 = 3^3$` olduğundan: `$(m+1)\log(2^2) = \log(3^3)$`.
- Yine logaritma özelliğini kullanarak: `$2(m+1)\log(2) = 3\log(3)$`.
- Bu ifadeyi `$4m$` terimini elde etmek için düzenleyelim: `$2m+2 = \frac{3\log(3)}{\log(2)}$`.
- `$2m = \frac{3\log(3)}{\log(2)} - 2$`.
- Her iki tarafı 2 ile çarpalım: `$4m = \frac{6\log(3)}{\log(2)} - 4$`.
- Verilen ikinci denklem: `$9 = 8^{n-1}$`.
- Denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım: `$\log(9) = \log(8^{n-1})$`.
- Logaritma özelliğini kullanarak üssü başa indirelim: `$\log(9) = (n-1)\log(8)$`.
- `$9 = 3^2$` ve `$8 = 2^3$` olduğundan: `$\log(3^2) = (n-1)\log(2^3)$`.
- Yine logaritma özelliğini kullanarak: `$2\log(3) = 3(n-1)\log(2)$`.
- Bu ifadeyi `$9n$` terimini elde etmek için düzenleyelim: `$n-1 = \frac{2\log(3)}{3\log(2)}$`.
- `$n = \frac{2\log(3)}{3\log(2)} + 1$`.
- Her iki tarafı 9 ile çarpalım: `$9n = 9\left(\frac{2\log(3)}{3\log(2)} + 1\right)$`.
- `$9n = \frac{18\log(3)}{3\log(2)} + 9$`.
- `$9n = \frac{6\log(3)}{\log(2)} + 9$`.
- Şimdi `$9n - 4m$` ifadesinin değerini bulalım:
- `$9n - 4m = \left(\frac{6\log(3)}{\log(2)} + 9\right) - \left(\frac{6\log(3)}{\log(2)} - 4\right)$`.
- `$9n - 4m = \frac{6\log(3)}{\log(2)} + 9 - \frac{6\log(3)}{\log(2)} + 4$`.
- `$9n - 4m = 9 + 4$`.
- `$9n - 4m = 13$`.
- Doğru Seçenek E'dır.