Verilen fonksiyon $f_n(x) = x - n$ şeklindedir.

Öncelikle, eşitsizlikte yer alan $f_3(x)$ ve $f_7(x)$ ifadelerini tanımlayalım:

• $n=3$ için: $f_3(x) = x - 3$
• $n=7$ için: $f_7(x) = x - 7$

Şimdi bu ifadeleri verilen $f_3(x) \le |f_7(x)|$ eşitsizliğine yerleştirelim:

$$x - 3 \le |x - 7|$$

Mutlak değerli eşitsizlikleri çözerken iki durumu incelememiz gerekir:

• Durum 1: $x - 7 \ge 0 \implies x \ge 7$ ise

Bu durumda $|x - 7| = x - 7$ olur. Eşitsizlik şu hale gelir:

$$x - 3 \le x - 7$$

Her iki taraftan $x$ çıkarırsak:

$$-3 \le -7$$

Bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla, $x \ge 7$ aralığında eşitsizliği sağlayan hiçbir $x$ değeri yoktur.

• Durum 2: $x - 7 < 0 \implies x < 7$ ise

Bu durumda $|x - 7| = -(x - 7) = 7 - x$ olur. Eşitsizlik şu hale gelir:

$$x - 3 \le 7 - x$$

Eşitsizliği çözmek için $x$'leri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:

$$x + x \le 7 + 3$$

$$2x \le 10$$

$$x \le 5$$

Bu durum için başlangıç koşulumuz $x < 7$ idi. Bulduğumuz çözüm $x \le 5$ olduğundan, her iki koşulu da sağlayan değerler $x \le 5$ olur.

Her iki durumu birleştirdiğimizde, eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri $x \le 5$ aralığındadır.

Soruda bizden pozitif x tam sayılarının toplamı istenmektedir. $x \le 5$ koşulunu sağlayan pozitif tam sayılar şunlardır:

$$1, 2, 3, 4, 5$$

Bu sayıların toplamını bulalım:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

Cevap C seçeneğidir.