Arda ve Betül aynı karenin kenar uzunluğunu ölçtükleri için verdikleri cebirsel ifadeler birbirine eşit olmalıdır.

• 1. Denklemi Kurma:

Kenar uzunlukları eşit olduğundan:

\[3x - 5 = |2x + 3|\]

• 2. Kenar Uzunluğunun Pozitif Olma Şartı:

Bir kenar uzunluğu negatif olamayacağından, \(3x - 5 > 0\) olmalıdır. Buradan \(3x > 5 \Rightarrow x > \frac{5}{3}\) elde ederiz.

• 3. Mutlak Değer Denklemini Çözme:

Mutlak değerin tanımına göre iki durum incelemeliyiz:

• Durum 1: \(2x + 3 \ge 0\) ise (\(x \ge -\frac{3}{2}\))

Denklem \(3x - 5 = 2x + 3\) olur.

\(3x - 2x = 3 + 5\)

\(x = 8\)

Bu \(x\) değeri, \(x > \frac{5}{3}\) (\(8 > \frac{5}{3}\) doğru) ve \(x \ge -\frac{3}{2}\) (\(8 \ge -\frac{3}{2}\) doğru) şartlarını sağlar. Dolayısıyla \(x=8\) geçerli bir çözümdür.

• Durum 2: \(2x + 3 < 0\) ise (\(x < -\frac{3}{2}\))

Denklem \(3x - 5 = -(2x + 3)\) yani \(3x - 5 = -2x - 3\) olur.

\(3x + 2x = -3 + 5\)

\(5x = 2\)

\(x = \frac{2}{5}\)

Bu \(x\) değeri, \(x > \frac{5}{3}\) (\(\frac{2}{5} > \frac{5}{3}\) yanlış, çünkü \(0.4 > 1.66...\) yanlıştır) ve \(x < -\frac{3}{2}\) (\(\frac{2}{5} < -\frac{3}{2}\) yanlış, çünkü \(0.4 < -1.5\) yanlıştır) şartlarını sağlamaz. Dolayısıyla \(x = \frac{2}{5}\) geçerli bir çözüm değildir.

• 4. Kenar Uzunluğunu Hesaplama:

Geçerli olan tek \(x\) değeri \(8\)'dir. Bu değeri kenar uzunluğu ifadesinde yerine koyalım:

Kenar uzunluğu \(= 3x - 5 = 3(8) - 5 = 24 - 5 = 19\) cm.

Veya Betül'ün ifadesiyle: Kenar uzunluğu \(= |2x + 3| = |2(8) + 3| = |16 + 3| = |19| = 19\) cm.

Her iki ifade de kenar uzunluğunu 19 cm olarak vermektedir.

Cevap D seçeneğidir.