Verilen eşitsizlik $3 < |2x - 1| < 7$ şeklindedir. Bu eşitsizliği iki parçaya ayırarak çözebiliriz:
- Birinci kısım: $3 < |2x - 1|$
- İkinci kısım: $|2x - 1| < 7$
1. Birinci kısmı çözelim: $3 < |2x - 1|$
Mutlak değer tanımına göre, bu eşitsizlik iki duruma ayrılır:
- $2x - 1 > 3 \implies 2x > 4 \implies x > 2$
- $2x - 1 < -3 \implies 2x < -2 \implies x < -1$
Bu durumda, birinci kısımdan gelen çözüm kümesi $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$'dir.
2. İkinci kısmı çözelim: $|2x - 1| < 7$
Mutlak değer tanımına göre, bu eşitsizlik şu şekilde yazılabilir:
$$-7 < 2x - 1 < 7$$
Her tarafa 1 ekleyelim:
$$-7 + 1 < 2x < 7 + 1$$
$$-6 < 2x < 8$$
Her tarafı 2'ye bölelim:
$$-3 < x < 4$$
Bu durumda, ikinci kısımdan gelen çözüm kümesi $x \in (-3, 4)$'tür.
3. Çözüm kümelerinin kesişimini bulalım:
Her iki eşitsizliği de sağlayan $x$ değerlerini bulmak için çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız:
$$((-\infty, -1) \cup (2, \infty)) \cap (-3, 4)$$
Bu kesişim iki aralıktan oluşur:
- $(-3, -1)$: Bu aralıktaki tam sayılar $\{-2\}$'dir.
- $(2, 4)$: Bu aralıktaki tam sayılar $\{3\}$'tür.
4. Eşitsizliği sağlayan tam sayıları ve toplamlarını bulalım:
Eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayıları $\{-2, 3\}$'tür.
Bu tam sayıların toplamı: $-2 + 3 = 1$.
Cevap D seçeneğidir.