Sorunun Çözümü
- Verilen eşitlik $ \frac{1}{|a - 1|} + \frac{1}{|a - b + 3|} = 1 $ şeklindedir.
- $a$ ve $b$ tam sayılar olduğu için, mutlak değer içindeki ifadeler de tam sayı olmalıdır. Bu durumda $|a-1|$ ve $|a-b+3|$ pozitif tam sayılar olmalıdır.
- İki pozitif tam sayının çarpmaya göre terslerinin toplamının $1$ olması için tek durum, her iki sayının da $2$ olmasıdır. Yani, $|a-1|=2$ ve $|a-b+3|=2$ olmalıdır.
- İlk denklemi çözelim: $|a-1|=2$. Buradan $a-1=2$ veya $a-1=-2$ elde edilir.
- $a-1=2 \Rightarrow a=3$
- $a-1=-2 \Rightarrow a=-1$
- Şimdi ikinci denklemi, $a$'nın bulduğumuz değerleri için çözelim: $|a-b+3|=2$.
- Eğer $a=3$ ise: $|3-b+3|=2 \Rightarrow |6-b|=2$.
- $6-b=2 \Rightarrow b=4$
- $6-b=-2 \Rightarrow b=8$
- Eğer $a=-1$ ise: $|-1-b+3|=2 \Rightarrow |2-b|=2$.
- $2-b=2 \Rightarrow b=0$
- $2-b=-2 \Rightarrow b=4$
- Eğer $a=3$ ise: $|3-b+3|=2 \Rightarrow |6-b|=2$.
- $b$'nin alabileceği farklı değerler $0, 4, 8$'dir.
- Bu farklı değerlerin toplamı $0 + 4 + 8 = 12$'dir.
- Doğru Seçenek A'dır.