Sorunun Çözümü
- Binanın yüksekliği $B$ metre, ağacın yüksekliği $A$ metre olsun.
- İlk durumda yükseklik farkı $8$ metredir: $|B - A| = 8$. Bu iki durumu ifade eder: $B - A = 8$ (yani $A = B - 8$) veya $A - B = 8$ (yani $A = B + 8$).
- Ağacın yüksekliği iki katına çıktığında ($2A$), fark $3$ metre olmuştur: $|B - 2A| = 3$. Bu da iki durumu ifade eder: $B - 2A = 3$ veya $2A - B = 3$.
- Durum 1: Başlangıçta bina ağaçtan uzun ($B > A$).
- $A = B - 8$ ifadesini $|B - 2A| = 3$ denklemine yerine koyalım: $|B - 2(B - 8)| = 3$.
- $|B - 2B + 16| = 3 \implies |-B + 16| = 3$.
- Bu durumda iki olasılık vardır:
- $-B + 16 = 3 \implies -B = -13 \implies B = 13$ metre.
- Eğer $B = 13$ ise, $A = 13 - 8 = 5$ metre. İlk fark $|13 - 5| = 8$. Yeni ağaç yüksekliği $2A = 10$ metre. Yeni fark $|13 - 10| = 3$. Bu değer geçerlidir.
- $-B + 16 = -3 \implies -B = -19 \implies B = 19$ metre.
- Eğer $B = 19$ ise, $A = 19 - 8 = 11$ metre. İlk fark $|19 - 11| = 8$. Yeni ağaç yüksekliği $2A = 22$ metre. Yeni fark $|19 - 22| = |-3| = 3$. Bu değer geçerlidir.
- $-B + 16 = 3 \implies -B = -13 \implies B = 13$ metre.
- Durum 2: Başlangıçta ağaç binadan uzun ($A > B$).
- $A = B + 8$ ifadesini $|B - 2A| = 3$ denklemine yerine koyalım: $|B - 2(B + 8)| = 3$.
- $|B - 2B - 16| = 3 \implies |-B - 16| = 3 \implies |-(B + 16)| = 3 \implies |B + 16| = 3$.
- Yükseklik pozitif olduğundan $B > 0$, dolayısıyla $B + 16$ da pozitif olmalıdır.
- $B + 16 = 3 \implies B = 3 - 16 \implies B = -13$ metre. Yükseklik negatif olamayacağından bu durum geçerli değildir.
- Buna göre, binanın yüksekliği $13$ metre (I) veya $19$ metre (III) olabilir.
- Doğru Seçenek C'dır.