Sorunun Çözümü
- Verilen fonksiyon $g(x) = -\frac{1}{20}x + n$ bir doğrusal fonksiyondur. Eğim ($-\frac{1}{20}$) negatif olduğu için, bu fonksiyon azalan bir fonksiyondur.
- Azalan bir fonksiyonda, tanım kümesinin en küçük değeri görüntü kümesinin en büyük değerini, tanım kümesinin en büyük değeri ise görüntü kümesinin en küçük değerini alır.
- Görüntü kümesi $[24, 30]$ olarak verilmiştir. Tanım kümesi $[x_{min}, x_{max}]$ olsun. Buna göre:
- $g(x_{min}) = 30$
- $g(x_{max}) = 24$
- Denklemleri yazalım:
- $g(x_{min}) \Rightarrow -\frac{1}{20}x_{min} + n = 30$
- $g(x_{max}) \Rightarrow -\frac{1}{20}x_{max} + n = 24$
- İkinci denklemi birinciden çıkaralım:
- $(-\frac{1}{20}x_{min} + n) - (-\frac{1}{20}x_{max} + n) = 30 - 24$
- $-\frac{1}{20}x_{min} + \frac{1}{20}x_{max} = 6$
- $\frac{1}{20}(x_{max} - x_{min}) = 6$
- $x_{max} - x_{min} = 6 \times 20$
- $x_{max} - x_{min} = 120$
- Problemde $x$ zamanı (dakika) temsil ettiği için, zaman negatif olamaz. Bu nedenle tanım kümesinin en küçük değeri $0$ olmalıdır, yani $x_{min} = 0$.
- $x_{min} = 0$ değerini $x_{max} - x_{min} = 120$ denkleminde yerine koyarsak:
- $x_{max} - 0 = 120$
- $x_{max} = 120$
- Bu durumda, fonksiyonun tanım kümesi $[0, 120]$ olarak bulunur.
- Doğru Seçenek A'dır.