Sorunun Çözümü
- Karenin bir kenar uzunluğunu `$2r$` olarak kabul edelim.
- Yarım çemberlerin çapları karenin kenarlarıyla çakıştığı için, her bir yarım çemberin yarıçapı `$r$` olur.
- Karenin sol alt köşesini `$(0,0)$` olarak koordinat sistemine yerleştirelim.
- Birinci yarım çemberin çapı alt kenar üzerinde olduğundan merkezi `$C_1 = (r,0)$` olur. Denklemi `$(x-r)^2 + y^2 = r^2$` şeklindedir.
- İkinci yarım çemberin çapı sol kenar üzerinde olduğundan merkezi `$C_2 = (0,r)$` olur. Denklemi `$x^2 + (y-r)^2 = r^2$` şeklindedir.
- B noktası bu iki yarım çemberin kesişim noktasıdır. Denklemleri açıp çözersek:
- `$x^2 - 2rx + r^2 + y^2 = r^2 \Rightarrow x^2 - 2rx + y^2 = 0$`
- `$x^2 + y^2 - 2ry + r^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2ry = 0$`
- İki denklemden `$x^2 + y^2$` değerlerini eşitlediğimizde `$2rx = 2ry \Rightarrow x = y$` bulunur.
- `$x=y$` eşitliğini ilk denkleme yerine koyarsak: `$x^2 - 2rx + x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2rx = 0 \Rightarrow 2x(x-r) = 0$`.
- Buradan `$x=0$` veya `$x=r$` bulunur. `$x=0 \Rightarrow y=0$` noktası A noktasıdır `$(0,0)$`. `$x=r \Rightarrow y=r$` noktası ise B noktasıdır `$(r,r)$`.
- Üçgenin köşeleri `$C_1=(r,0)$`, `$C_2=(0,r)$` ve `$B=(r,r)$` noktalarıdır.
- Kenar uzunluklarını hesaplayalım:
- `$|C_1 C_2| = \sqrt{(r-0)^2 + (0-r)^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}$`.
- `$|C_1 B| = \sqrt{(r-r)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{0^2 + r^2} = \sqrt{r^2} = r$`.
- `$|C_2 B| = \sqrt{(r-0)^2 + (r-r)^2} = \sqrt{r^2 + 0^2} = \sqrt{r^2} = r$`.
- Üçgenin kenar uzunlukları `$r, r, r\sqrt{2}$` olduğundan, iki kenarı eşit olan bir İkizkenar Üçgen'dir.
- Ayrıca, `$r^2 + r^2 = (r\sqrt{2})^2$` olduğu için bu üçgen bir dik üçgendir. Dolayısıyla "Dar açılı ikizkenar Üçgen" değildir.
- Doğru Seçenek A'dır.