Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizliği iki parçaya ayıralım: $a^2 < ab$ ve $ab < a - b$.
- İlk eşitsizlik olan $a^2 < ab$ ifadesini düzenleyelim: $a^2 - ab < 0 \Rightarrow a(a - b) < 0$.
- Bu eşitsizliğin sağlanması için $a$ ve $(a - b)$ zıt işaretli olmalıdır. İki durum vardır:
- Durum 1: $a > 0$ ve $a - b < 0 \Rightarrow a < b$. Bu durumda $0 < a < b$.
- Durum 2: $a < 0$ ve $a - b > 0 \Rightarrow a > b$. Bu durumda $b < a < 0$.
- Şimdi ikinci eşitsizlik olan $ab < a - b$ ifadesini her iki durum için kontrol edelim.
- Durum 1'i inceleyelim ($0 < a < b$):
- Eğer $0 < a < b$ ise, $ab$ pozitiftir.
- $a < b$ olduğu için $a - b$ negatiftir.
- $ab < a - b$ eşitsizliği (pozitif) < (negatif) anlamına gelir ki bu imkansızdır. Dolayısıyla Durum 1 geçersizdir.
- Durum 2'yi inceleyelim ($b < a < 0$):
- Eğer $b < a < 0$ ise, $ab$ pozitiftir.
- $a > b$ olduğu için $a - b$ pozitiftir.
- $ab < a - b$ eşitsizliği (pozitif) < (pozitif) anlamına gelir, bu mümkündür.
- Eşitsizliği daha detaylı inceleyelim: $ab - a + b < 0$.
- Bu ifadeyi çarpanlara ayırmak için 1 ekleyip çıkaralım: $ab - a + b - 1 + 1 < 0 \Rightarrow (a+1)(b-1) + 1 < 0$.
- Yani $(a+1)(b-1) < -1$ olmalıdır.
- $b < a < 0$ koşulunda, $b-1 < a-1 < -1$ olur. Yani $b-1$ negatiftir ve mutlak değeri 1'den büyüktür.
- Eğer $a \le -1$ olsaydı, $a+1 \le 0$ olurdu. Bu durumda $(a+1)(b-1)$ ya $0$ ya da pozitif olurdu, bu da $<-1$ eşitsizliğini sağlamazdı.
- Bu nedenle $a$ değeri $-1 < a < 0$ aralığında olmalıdır.
- Eğer $-1 < a < 0$ ise, $0 < a+1 < 1$ olur.
- $b < a$ olduğundan $b < -1$ ve dolayısıyla $b-1 < -2$ olur.
- Bu durumda $(a+1)$ pozitif ve $(b-1)$ negatif (mutlak değeri 2'den büyük) olduğu için çarpımları negatif olacaktır.
- Örneğin, $a = -0.5$ ve $b = -2$ alırsak: $(a+1)(b-1) = (0.5)(-3) = -1.5$ olup $-1.5 < -1$ eşitsizliği sağlanır.
- Ayrıca $a^2 = 0.25$, $ab = 1$, $a-b = 1.5$ olup $0.25 < 1 < 1.5$ eşitsizliği de sağlanır.
- Bu örnek, $b < a < 0$ durumunun geçerli olduğunu gösterir.
- Sonuç olarak, $a$ ve $b$ sayılarının sayı doğrusu üzerindeki görünümü $b < a < 0$ şeklinde olmalıdır.
- Doğru Seçenek C'dır.