Sorunun Çözümü
- Verilen eşitsizliği iki parçaya ayıralım:
- Birinci eşitsizlik: `$1/10 < 1/(x-1)`$
- İkinci eşitsizlik: `$1/(x-1) <= 1/2$`
- Öncelikle, ifadenin tanımlı olması için `$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$` olmalıdır. Ayrıca, `$1/10`$ ve `$1/2`$ pozitif olduğundan, `$1/(x-1)`$ de pozitif olmalıdır. Bu durumda `$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$` koşulu geçerlidir.
- Birinci eşitsizliği çözelim: `$1/10 < 1/(x-1)`$. Her iki taraf pozitif olduğu için eşitsizliği ters çevirirsek yön değiştirir:
- `$10 > x-1$`
- `$11 > x$` veya `$x < 11$`
- İkinci eşitsizliği çözelim: `$1/(x-1) <= 1/2`$. Her iki taraf pozitif olduğu için eşitsizliği ters çevirirsek yön değiştirir:
- `$x-1 >= 2$`
- `$x >= 3$`
- Elde ettiğimiz tüm koşulları birleştirelim:
- `$x > 1$` (tanım kümesi ve pozitiflikten)
- `$x < 11$` (birinci eşitsizlikten)
- `$x >= 3$` (ikinci eşitsizlikten)
- Bu koşulların kesişimi `$x >= 3$` ve `$x < 11$` aralığıdır. Yani `$3 <= x < 11$`.
- Bu aralık, `$[3, 11)` şeklinde ifade edilir.
- Doğru Seçenek E'dır.