Verilen kümeleri ve aralıklarını belirleyelim:

• A kümesi:

  $A = \left(-\sqrt{2}, \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)$

  Öncelikle ikinci sınırı hesaplayalım:

  $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

  Ayrıca, $\sqrt{2} \approx 1.414$ olduğundan $-\sqrt{2} \approx -1.414$.

  Böylece, $A = \left(-\sqrt{2}, \frac{9}{4}\right)$ veya yaklaşık olarak $A = (-1.414, 2.25)$. Bu bir açık aralıktır.

• B kümesi:

  $B = \{x \mid -1 \leq x \leq \pi, x \in \mathbb{R}\}$

  Bu, $B = [-1, \pi]$ kapalı aralığıdır.

  Yaklaşık olarak $\pi \approx 3.14159$ olduğundan, $B = [-1, 3.14159]$.

Şimdi $A \cap B$ kesişimini bulalım:

İki aralığın kesişimi, alt sınırların en büyüğü ile üst sınırların en küçüğünü alarak bulunur.

• Alt sınır:

  $A$'nın alt sınırı $-\sqrt{2}$ (dahil değil).

  $B$'nin alt sınırı $-1$ (dahil).

  Bu iki değerden büyük olanı $-1$'dir (çünkü $-1 > -\sqrt{2}$). $-1$ değeri $B$ kümesinde dahil olduğu için kesişimde de dahil olacaktır.

  Yani, alt sınır: $-1$ (dahil).

• Üst sınır:

  $A$'nın üst sınırı $\frac{9}{4}$ (dahil değil).

  $B$'nin üst sınırı $\pi$ (dahil).

  Bu iki değerden küçük olanı $\frac{9}{4}$'tür (çünkü $\frac{9}{4} = 2.25 < \pi \approx 3.14$). $\frac{9}{4}$ değeri $A$ kümesinde dahil olmadığı için kesişimde de dahil olmayacaktır.

  Yani, üst sınır: $\frac{9}{4}$ (dahil değil).

Buna göre, $A \cap B = \left[-1, \frac{9}{4}\right)$.

Bu aralık, sayı doğrusunda $-1$ noktasında kapalı (dolu daire) ve $\frac{9}{4}$ noktasında açık (boş daire) olarak gösterilir.

Bu gösterim D seçeneğinde doğru olarak verilmiştir.

Cevap D seçeneğidir.