Verilen problemde, sayı doğrusu üzerinde A ve B noktaları bulunmaktadır. Bu sayı doğrusu üzerinde, A'ya olan uzaklığı B'ye olan uzaklığının 2 katı olan iki farklı sayı işaretleniyor. Bu işaretlenen sayılar arasındaki uzaklık 2 birim olduğuna göre, A ve B sayıları arasındaki uzaklığı bulmamız isteniyor.

• Adım 1: A ve B noktalarını ve aralarındaki uzaklığı tanımlama.

  A ve B noktalarının sayı doğrusu üzerindeki koordinatları sırasıyla $x_A$ ve $x_B$ olsun. Şekilden $x_A < x_B$ olduğunu görüyoruz. A ve B arasındaki uzaklık $d = |x_B - x_A| = x_B - x_A$ olsun.

• Adım 2: Koşulu sağlayan sayıları bulma.

  İşaretlenen bir sayı $x$ olsun. Bu sayının A'ya olan uzaklığı, B'ye olan uzaklığının 2 katıdır. Matematiksel olarak bu, $|x - x_A| = 2|x - x_B|$ şeklinde ifade edilir.

  Bu mutlak değer denklemini çözmek için iki durum inceleyelim:

  1. Durum 1: $x - x_A = 2(x - x_B)$

     $x - x_A = 2x - 2x_B$

     $2x_B - x_A = 2x - x$

     $x_1 = 2x_B - x_A$

  2. Durum 2: $x - x_A = -2(x - x_B)$

     $x - x_A = -2x + 2x_B$

     $x + 2x = x_A + 2x_B$

     $3x = x_A + 2x_B$

     $x_2 = \frac{x_A + 2x_B}{3}$

  Böylece koşulu sağlayan iki farklı sayı $x_1$ ve $x_2$ olarak bulunmuştur.

• Adım 3: İşaretlenen sayılar arasındaki uzaklığı kullanarak $d$ değerini bulma.

  Soruda işaretlenen sayılar arasındaki uzaklığın 2 birim olduğu belirtilmiştir. Yani, $|x_1 - x_2| = 2$.

  $x_1 - x_2 = (2x_B - x_A) - \left(\frac{x_A + 2x_B}{3}\right)$

  $x_1 - x_2 = \frac{3(2x_B - x_A) - (x_A + 2x_B)}{3}$

  $x_1 - x_2 = \frac{6x_B - 3x_A - x_A - 2x_B}{3}$

  $x_1 - x_2 = \frac{4x_B - 4x_A}{3}$

  $x_1 - x_2 = \frac{4(x_B - x_A)}{3}$

  A ve B arasındaki uzaklığı $d = x_B - x_A$ olarak tanımlamıştık. Bu durumda,

  $x_1 - x_2 = \frac{4d}{3}$

  Verilen bilgiye göre $|x_1 - x_2| = 2$. $d$ bir uzaklık olduğu için pozitif olmalıdır, dolayısıyla $\frac{4d}{3}$ de pozitif olacaktır.

  $\frac{4d}{3} = 2$

  $4d = 2 \times 3$

  $4d = 6$

  $d = \frac{6}{4}$

  $d = \frac{3}{2}$

A ve B sayıları arasındaki uzaklık $\frac{3}{2}$ birimdir.

Cevap D seçeneğidir.