Sorunun Çözümü
- Verilen aralıkları belirleyelim:
$A = (-2\sqrt{6}, 9/2]$
$B = [-5/2, 3\sqrt{5})$ - Uç noktaların yaklaşık değerlerini bulalım:
$-2\sqrt{6} \approx -4.9$
$-5/2 = -2.5$
$9/2 = 4.5$
$3\sqrt{5} \approx 6.7$ - I. ifadeyi kontrol edelim: $A \cap B = [-5/2, 9/2]$
$A \cap B$, iki aralığın kesişimidir. Alt sınırlar arasında büyük olanı (kapalı ise kapalı, açık ise açık), üst sınırlar arasında küçük olanı (kapalı ise kapalı, açık ise açık) alınır.
Alt sınırlar: $-2\sqrt{6}$ (açık), $-5/2$ (kapalı). Büyük olan $-5/2$ (kapalı).
Üst sınırlar: $9/2$ (kapalı), $3\sqrt{5}$ (açık). Küçük olan $9/2$ (kapalı).
Dolayısıyla, $A \cap B = [-5/2, 9/2]$.
I. ifade doğrudur. - II. ifadeyi kontrol edelim: $A \setminus B = (-2\sqrt{6}, -5/2]$
$A \setminus B$, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardır.
$A = (-2\sqrt{6}, 9/2]$ ve $B = [-5/2, 3\sqrt{5})$.
$A \setminus B$ aralığı $-2\sqrt{6}$'dan başlar ve $-5/2$'ye kadar gider. Ancak $-5/2$ B kümesinin bir elemanı olduğu için $A \setminus B$ kümesine dahil edilemez.
Dolayısıyla, $A \setminus B = (-2\sqrt{6}, -5/2)$.
II. ifade yanlıştır. - III. ifadeyi kontrol edelim: $(B \setminus A) \cap Z$ kümesi 2 elemanlıdır.
$B \setminus A$, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlardır.
$B = [-5/2, 3\sqrt{5})$ ve $A = (-2\sqrt{6}, 9/2]$.
$B \setminus A$ aralığı $9/2$'den başlar ve $3\sqrt{5}$'e kadar gider. Ancak $9/2$ A kümesinin bir elemanı olduğu için $B \setminus A$ kümesine dahil edilemez.
Dolayısıyla, $B \setminus A = (9/2, 3\sqrt{5})$.
Bu aralıktaki tam sayıları bulalım: $9/2 = 4.5$ ve $3\sqrt{5} \approx 6.7$.
$(4.5, 6.7)$ aralığındaki tam sayılar $5$ ve $6$'dır. Bu küme $\{5, 6\}$ olup 2 elemanlıdır.
III. ifade doğrudur. - Doğru Seçenek C'dır.