Sorunun Çözümü
- Kümelerin ayrık bölgelerinin eleman sayıları şu şekilde tanımlanır:
- `$s(A \setminus B) = x$`
- `$s(B \setminus A) = y$`
- `$s(A \cap B) = z$`
- Verilen ilk eşitlik `$2 \cdot s(A \setminus B) = s(A' \cap B)$` ifadesidir.
- `$s(A' \cap B)$` ifadesi `$s(B \setminus A)$` ile eşittir. Yani `$s(A' \cap B) = y$`.
- Bu durumda eşitlik `$2x = y$` olur.
- Verilen ikinci eşitlik `$s(A \cup B) = 17$` ifadesidir.
- Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü `$s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)$` şeklindedir.
- Bu formül eleman sayıları ile yazılırsa `$x + y + z = 17$` olur.
- `$y = 2x$` eşitliğini `$x + y + z = 17$` denkleminde yerine yazılır:
- `$x + 2x + z = 17$`
- `$3x + z = 17$`
- `$s(A \cap B)$` yani `$z$` değerinin en az olması için, `$3x + z = 17$` denkleminde `$x$` değerinin en büyük olması gerekir.
- Eleman sayıları negatif olamaz, bu yüzden `$x \ge 0$` ve `$z \ge 0$` olmalıdır.
- `$z = 17 - 3x$` olduğundan, `$17 - 3x \ge 0 \Rightarrow 17 \ge 3x \Rightarrow x \le \frac{17}{3}$`.
- `$x$` bir tam sayı olduğundan, alabileceği en büyük tam sayı değeri `$x = 5$`'tir.
- `$x = 5$` değeri için `$z$` hesaplanır:
- `$z = 17 - 3(5) = 17 - 15 = 2$`.
- Bu durumda `$y = 2x = 2(5) = 10$` olur.
- Kontrol: `$s(A \setminus B) = 5$`, `$s(B \setminus A) = 10$`, `$s(A \cap B) = 2$`. Toplam `$5 + 10 + 2 = 17$`, bu da verilen `$s(A \cup B) = 17$` ile uyumludur.
- Doğru Seçenek D'dır.