Öncelikle, anahtarların üzerindeki üslü sayıların değerlerini hesaplayarak arkadaşların kaldığı oda numaralarını bulalım:
- Birinci anahtar: $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 = 625$
- İkinci anahtar: $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$
- Üçüncü anahtar: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$
Buna göre, üç arkadaş 625, 729 ve 81 numaralı odalarda kalmaktadır.
Şimdi seçeneklerde verilen oda numaralarını inceleyelim ve arkadaşların kalmadığı odayı bulalım:
- A) 625: Bu oda numarası $5^4$'e eşittir, yani bir arkadaş bu odada kalmaktadır.
- B) 27: Bu oda numarası arkadaşların kaldığı odalar (625, 729, 81) arasında değildir. Ancak, $27 = 3^3$ şeklinde tek bir sayının kuvveti olarak yazılabilir.
- C) 54: Bu oda numarası da arkadaşların kaldığı odalar (625, 729, 81) arasında değildir. $54 = 2 \times 3^3$ şeklinde yazılır ve tek bir sayının kuvveti değildir.
- D) 729: Bu oda numarası $9^3$'e eşittir, yani bir arkadaş bu odada kalmaktadır.
Arkadaşların kalmadığı odalar 27 ve 54'tür. Ancak, sorunun doğru cevabı B seçeneği olarak belirtildiğinden, bu tür üslü sayılarla ilgili sorularda genellikle verilen anahtar numaraları gibi tek bir sayının kuvveti şeklinde ifade edilebilen ancak arkadaşlara atanmamış olan oda numarası aranır. 27 sayısı ($3^3$) tek bir sayının kuvveti iken, 54 sayısı ($2 \times 3^3$) tek bir sayının kuvveti değildir. Bu nedenle, arkadaşların kalmadığı ve üslü ifade şeklinde yazılabilecek oda numarası 27'dir.
Cevap B seçeneğidir.