Verilen eşitliklerin doğruluğunu tek tek inceleyelim:

• I. Eşitlik: \(2\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{32}\)

Kök dışındaki sayıyı kök içine almak için kökün derecesi kadar üssünü alırız. Burada kök derecesi 4'tür.

\(2\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{32}\)

Bu eşitlik doğrudur.

• II. Eşitlik: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)

Kök dışındaki sayıyı kök içine almak için kökün derecesi kadar üssünü alırız. Burada kök derecesi 2'dir (kare kök).

\(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)

Bu eşitlik doğrudur.

• III. Eşitlik: \(2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{12}\)

Kök dışındaki sayıyı kök içine almak için kökün derecesi kadar üssünü alırız. Burada kök derecesi 3'tür (küp kök).

\(2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}\)

Ancak eşitliğin sağ tarafı \(\sqrt[3]{12}\)'dir. \(\sqrt[3]{24} \neq \sqrt[3]{12}\) olduğu için bu eşitlik yanlıştır.

• IV. Eşitlik: \(4\sqrt{2} = \sqrt{16}\)

Eşitliğin sağ tarafı \(\sqrt{16} = 4\)'tür.

Eşitliğin sol tarafı \(4\sqrt{2}\)'dir. \(4\sqrt{2}\) yaklaşık olarak \(4 \times 1.414 = 5.656\)'dır.

Veya \(4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}\)'dir. \(\sqrt{32} \neq \sqrt{16}\) olduğu için bu eşitlik yanlıştır.

Yukarıdaki incelemelere göre, doğru olan eşitlikler I ve II'dir.

Cevap B seçeneğidir.