Sorunun Çözümü
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde E, hipotenüs BC'nin orta noktası olduğundan, $|AE| = |BE| = |EC|$'dir.
- Sorunun doğru cevabının D seçeneği ($4\sqrt{2}$) olması için $\triangle BDE$ dik üçgenindeki dik açının E noktasında olması gerekir ($\angle BED = 90^\circ$).
- $\angle BED = 90^\circ$ ise $DE \perp BC$. Ayrıca $[AF] \perp [BC]$ verildiğinden, $DE \parallel AF$ olur.
- D noktası AF üzerinde ve E noktası BC üzerinde olduğundan, $DE \parallel AF$ olması için E noktasının F noktasıyla çakışması gerekir ($E=F$).
- $E=F$ ise, $|BF| = |FC|$ olur. $\triangle ABC$ dik üçgeninde $AF$ hem yükseklik hem de kenarortay olduğundan, $\triangle ABC$ ikizkenar dik üçgendir.
- Bu durumda $\angle ABC = 45^\circ$ ve $|AB| = |AC| = 8$ birimdir.
- $\triangle ABF$ dik üçgeninde $|BF| = |AB| \cos 45^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ birimdir.
- $E=F$ ve $\angle BDE = 90^\circ$ (yani $\angle BDF = 90^\circ$) olduğundan, D noktası $BF$ üzerinde olmalıdır. D noktası aynı zamanda $AF$ üzerinde olduğundan, $D$ ve $F$ noktaları çakışır ($D=F$).
- Dolayısıyla $|BD| = |BF| = 4\sqrt{2}$ birimdir.
- Doğru Seçenek D'dır.