Sorunun Çözümü
Çözüm:
- Soruda verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ dik üçgeni A noktasında dik açılıdır ve hipotenüse ait yükseklik $|AH|=12$ birimdir. $\triangle DEF$ dik üçgeni E noktasında dik açılıdır ve hipotenüse ait yükseklik $EK \perp DF$ olmak üzere, $|KF|=3$ birimdir.
- "Kağıt ortadan ikiye katlandığında sayfanın iki tarafında bulunan dik üçgenlerdeki C ile E ve A ile D noktaları çakışıyor." ifadesi, üçgenlerin eş olduğunu ve $A \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow E$ eşlemesinin olduğunu gösterir. Bu durumda $\triangle ABC \cong \triangle DFE$ olmalıdır. Ancak bu eşleşme, $\angle A = 90^\circ$ ve $\angle D = 90^\circ$ olmasını gerektirir ki bu da $\triangle DEF$'in E noktasında dik açılı olduğu bilgisiyle çelişir.
- Bu tür çelişkili durumlarda, genellikle dik açı bilgisi korunarak eşleşme yapılır. Yani, $\angle A = 90^\circ$ ve $\angle E = 90^\circ$ olduğu için, eşleşme $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow D$ şeklinde olmalıdır. Bu durumda $\triangle ABC \cong \triangle EFD$ olur.
- Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar ve yükseklikler eşittir. Bu eşleşmeye göre, A noktasından BC kenarına inen yükseklik AH, E noktasından DF kenarına inen yükseklik EK'ye karşılık gelir. Dolayısıyla $|AH| = |EK|$ olmalıdır.
- $|AH|=12$ birim verildiğine göre, $|EK|=12$ birimdir.
- $\triangle DEF$ dik üçgeninde E noktasında dik açı vardır ve $EK \perp DF$ yüksekliğidir. Öklid Teoremi'ne göre, yüksekliğin karesi ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: $|EK|^2 = |DK| \cdot |KF|$.
- Verilen değerleri yerine yazalım: $12^2 = |DK| \cdot 3$.
- $144 = 3 \cdot |DK|$. Buradan $|DK| = 144/3 = 48$ birim bulunur.
- Hipotenüs $|DF| = |DK| + |KF| = 48 + 3 = 51$ birimdir.
- Yine Öklid Teoremi'ne göre, dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir: $|EF|^2 = |KF| \cdot |DF|$.
- $|EF|^2 = 3 \cdot 51 = 153$.
- $|EF| = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ birimdir.
- $\triangle ABC \cong \triangle EFD$ olduğundan, $|AB| = |EF|$ olmalıdır.
- Bu durumda $|AB| = 3\sqrt{17}$ birimdir. Ancak bu seçeneklerde yoktur. Bu, problemdeki "çakışıyor" ifadesinin farklı bir yorumunu gerektirdiğini gösterir.
- Problem