Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\angle BAE = 90^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$ ve $[AC] \perp [BE]$ olduğundan $\angle ADB = 90^\circ$.
- $\triangle ABD$ üçgeninde $\angle DAB = \alpha$ dersek, $\angle ABD = 90^\circ - \alpha$ olur.
- $\triangle ABC$ dik üçgeninde $\angle ABC = 90^\circ$ olduğundan, $\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$ olur.
- $\triangle BDC$ dik üçgeninde $\angle DBC = \alpha$ ve $\angle BDC = 90^\circ$ olduğundan, $\angle BCD = 90^\circ - \alpha$ olur.
- $\triangle ABE$ dik üçgeninde $\angle BAE = 90^\circ$ olduğundan, $\angle DAE = \angle BAE - \angle DAB = 90^\circ - \alpha$ olur.
- $\triangle ADE$ dik üçgeninde $\angle DAE = 90^\circ - \alpha$ ve $\angle ADE = 90^\circ$ olduğundan, $\angle AED = \alpha$ olur.
- Açı benzerliğinden, $\triangle ABD \sim \triangle EDA$ (Açıları: $\alpha, 90^\circ - \alpha, 90^\circ$). Bu benzerlikten $|AD|^2 = |BD| \cdot |ED|$ (Öklid bağıntısı) elde edilir.
- Verilen $|BD| = 4$ br ve $|ED| = 2$ br değerlerini yerine koyarsak: $|AD|^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Buradan $|AD| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ br bulunur.
- Yine açı benzerliğinden, $\triangle ABD \sim \triangle BCD$ (Açıları: $\alpha, 90^\circ - \alpha, 90^\circ$). Bu benzerlikten $\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|BD|}{|CD|}$ oranı yazılır.
- Denklemde bilinenleri yerine koyarsak: $\frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{4}{x}$.
- Çapraz çarpım yaparak $2\sqrt{2} \cdot x = 4 \cdot 4 = 16$ elde ederiz.
- $x = \frac{16}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ br bulunur.
- Doğru Seçenek C'dır.