Verilen bilgilere göre, soruyu adım adım çözelim:

• 1. Verilenleri Anlayalım:
  • \(\triangle ABC\) dik üçgen ve \(\angle BAC = 90^\circ\).
  • \(\triangle ABD\) dik üçgen ve \(\angle ABD = 90^\circ\).
  • \([AD] \perp [BC]\) olduğu için \(AE \perp BC\) ve \(DE \perp BC\), yani \(\angle AEB = \angle DEB = 90^\circ\).
  • \(|AE| = 4\) birim.
  • \(|ED| = 1\) birim.
  • \(|EC| = x\) değerini bulmamız isteniyor.
• 2. \(\triangle ABC\) Üçgeninde Öklid Teoremini Uygulayalım:
  • \(\triangle ABC\) dik üçgeninde A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme AE olduğundan, Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanabiliriz: \(|AE|^2 = |BE| \cdot |EC|\).
  • Verilen değerleri yerine yazarsak: \(4^2 = |BE| \cdot x\).
  • Bu durumda, \(16 = |BE| \cdot x\) olur. (Denklem 1)
• 3. Açı İlişkilerini Belirleyelim:
  • \(\angle ACB = \alpha\) diyelim.
  • \(\triangle ABC\) dik üçgen olduğundan \(\angle ABC = 90^\circ - \alpha\).
  • \(\triangle ABE\) dik üçgen olduğundan \(\angle BAE = 90^\circ - \angle ABE = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\).
  • \(\triangle ABD\) dik üçgen olduğundan \(\angle ABD = 90^\circ\).
  • \(\angle EBD = \angle ABD - \angle ABE = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\).
  • Böylece \(\angle BAE = \alpha\) ve \(\angle EBD = \alpha\) olduğunu bulduk.
• 4. Benzer Üçgenleri Kullanarak \(|BE|\) Uzunluğunu Bulalım:
  • \(\triangle ABE\) ve \(\triangle BDE\) üçgenlerini inceleyelim:
    • \(\angle AEB = 90^\circ\) ve \(\angle BED = 90^\circ\) (ortak dik açılar).
    • \(\angle BAE = \alpha\) ve \(\angle EBD = \alpha\) (yukarıda bulduğumuz açılar).
  • İki açısı eşit olduğundan, \(\triangle ABE \sim \triangle BDE\) (Açı-Açı benzerliği).
  • Benzerlik oranından: \(\frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|BE|}{|DE|}\).
  • İçler dışlar çarpımı yaparak: \(|BE|^2 = |AE| \cdot |DE|\).
  • Verilen değerleri yerine yazalım: \(|BE|^2 = 4 \cdot 1\).
  • \(|BE|^2 = 4 \Rightarrow |BE| = 2\) birim (uzunluk pozitif olmalıdır).
• 5. \(x\) Değerini Hesaplayalım:
  • Denklem 1'de \(|BE| = 2\) değerini yerine yazalım: \(16 = |BE| \cdot x\).
  • \(16 = 2 \cdot x\).
  • \(x = \frac{16}{2}\).
  • \(x = 8\) birim.

Cevap D seçeneğidir.