Verilen problemde, bir ABCD dikdörtgeni içinde boyalı bölgelerin alanları toplamını bulmamız istenmektedir. Dikdörtgenin kenar uzunlukları ve bazı segmentlerin eşitlikleri verilmiştir.

Adım 1: Segment uzunluklarını belirleyin.

• Dikdörtgenin uzun kenarı $|AD| = 24$ cm olarak verilmiştir. Bu kenar, F ve E noktalarıyla üç eşit parçaya ayrılmıştır: $|AF| = |FE| = |ED|$. Bu durumda, her bir parçanın uzunluğu: $|AF| = |FE| = |ED| = \frac{|AD|}{3} = \frac{24}{3} = 8$ cm.
• Dikdörtgenin diğer uzun kenarı $|BC|$ de $|AD|$'ye eşit olduğundan $|BC| = 24$ cm'dir. Bu kenar da G ve H noktalarıyla üç eşit parçaya ayrılmıştır: $|BG| = |GH| = |HC|$. Bu durumda, her bir parçanın uzunluğu: $|BG| = |GH| = |HC| = \frac{|BC|}{3} = \frac{24}{3} = 8$ cm.
• Dikdörtgenin kısa kenarı (yüksekliği) $|AB| = 16$ cm olarak verilmiştir. Bu yükseklik, tabanı AD veya BC üzerinde olan ve karşı köşesi diğer kenar üzerinde olan tüm üçgenler için geçerlidir.

Adım 2: Dikdörtgen ABCD'nin toplam alanını hesaplayın.

• Dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır: Alan(ABCD) = $|AD| \times |AB| = 24 \times 16 = 384$ cm$^2$.

Adım 3: Boyalı olmayan bölgelerin alanlarını hesaplayın.

Şekilde boyalı olmayan üç adet üçgen bulunmaktadır: $\triangle ABG$, $\triangle FGE$ ve $\triangle HCD$. Bu üçgenlerin alanlarını ayrı ayrı hesaplayalım:

• $\triangle ABG$ alanı: Tabanı $|BG| = 8$ cm'dir. Yüksekliği, A noktasından BG'ye inen dikme olan $|AB| = 16$ cm'dir. Alan($\triangle ABG$) = $\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times |BG| \times |AB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64$ cm$^2$.
• $\triangle FGE$ alanı: Tabanı $|FE| = 8$ cm'dir. F ve E noktaları AD kenarı üzerinde, G noktası ise BC kenarı üzerindedir. Dolayısıyla, bu üçgenin yüksekliği dikdörtgenin yüksekliği olan $|AB| = 16$ cm'dir. Alan($\triangle FGE$) = $\frac{1}{2} \times |FE| \times |AB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64$ cm$^2$.
• $\triangle HCD$ alanı: Tabanı $|HC| = 8$ cm'dir. Yüksekliği, D noktasından HC'ye inen dikme olan $|CD| = 16$ cm'dir. Alan($\triangle HCD$) = $\frac{1}{2} \times |HC| \times |CD| = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 = 64$ cm$^2$.

Toplam boyalı olmayan alan, bu üçgenlerin alanlarının toplamıdır: Toplam Boyalı Olmayan Alan = Alan($\triangle ABG$) + Alan($\triangle FGE$) + Alan($\triangle HCD$) = $64 + 64 + 64 = 192$ cm$^2$.

Adım 4: Boyalı bölgelerin toplam alanını hesaplayın.

Boyalı bölgelerin toplam alanı, dikdörtgenin toplam alanından boyalı olmayan bölgelerin toplam alanının çıkarılmasıyla bulunur:

• Toplam Boyalı Alan = Alan(ABCD) - Toplam Boyalı Olmayan Alan Toplam Boyalı Alan = $384 - 192 = 192$ cm$^2$.

Cevap C seçeneğidir.