Verilen soru, seçeneklerdeki açılardan hangisinin dik açıya (90 derece) eşit olmadığını bulmamızı istemektedir. Bir açının dik olup olmadığını anlamak için, koordinat sistemindeki noktaları kullanarak eğimleri veya vektörlerin skaler çarpımını inceleyebiliriz. İki doğru dik ise eğimlerinin çarpımı -1'dir. İki vektör dik ise skaler çarpımları 0'dır.

Her bir seçeneği adım adım inceleyelim:

• A) Seçeneği:

  Bu seçenekteki açıyı oluşturan ışınlar, ızgara çizgileriyle hizalanmıştır. Bir ışın dikey, diğeri yataydır. Bu tür ışınlar her zaman birbirine diktir ve 90 derecelik bir açı oluşturur.

  Dolayısıyla, A seçeneği bir dik açıdır.

• B) Seçeneği:

  Açının köşesi (3,5) noktasındadır (sol alttan sayarsak). Sol ışın (3,5) noktasından (1,3) noktasına gider. Sağ ışın (3,5) noktasından (5,3) noktasına gider.

  • Sol ışının eğimi ($m_1$): $(3-5)/(1-3) = -2/-2 = 1$.
  • Sağ ışının eğimi ($m_2$): $(3-5)/(5-3) = -2/2 = -1$.

  Eğimlerin çarpımı: $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$.

  Eğimlerin çarpımı -1 olduğu için, B seçeneği bir dik açıdır.

• C) Seçeneği:

  Açının köşesi (3,5) noktasındadır. Sol ışın (3,5) noktasından (1,1) noktasına gider. Sağ ışın (3,5) noktasından (5,3) noktasına gider.

  • Sol ışının eğimi ($m_1$): $(1-5)/(1-3) = -4/-2 = 2$.
  • Sağ ışının eğimi ($m_2$): $(3-5)/(5-3) = -2/2 = -1$.

  Eğimlerin çarpımı: $m_1 \times m_2 = 2 \times (-1) = -2$.

  Eğimlerin çarpımı -1 olmadığı için, C seçeneği bir dik açı değildir.

  Açı değerini hesaplayalım: Köşeden çıkan vektörler $v_1 = (1-3, 1-5) = (-2, -4)$ ve $v_2 = (5-3, 3-5) = (2, -2)$.

  Skaler çarpım: $v_1 \cdot v_2 = (-2)(2) + (-4)(-2) = -4 + 8 = 4$.

  Vektörlerin büyüklükleri: $|v_1| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$. $|v_2| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.

  Açı $\alpha_C$ için $\cos \alpha_C = \frac{v_1 \cdot v_2}{|v_1||v_2|} = \frac{4}{\sqrt{20}\sqrt{8}} = \frac{4}{\sqrt{160}} = \frac{4}{4\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

  $\alpha_C = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \approx 71.56^\circ$. Bu bir dik açı değildir.

• D) Seçeneği:

  Açının köşesi (3,5) noktasındadır. Sol ışın (3,5) noktasından (1,2) noktasına gider. Sağ ışın (3,5) noktasından (5,2) noktasına gider.

  • Sol ışının eğimi ($m_1$): $(2-5)/(1-3) = -3/-2 = 3/2$.
  • Sağ ışının eğimi ($m_2$): $(2-5)/(5-3) = -3/2$.

  Eğimlerin çarpımı: $m_1 \times m_2 = (3/2) \times (-3/2) = -9/4$.

  Eğimlerin çarpımı -1 olmadığı için, D seçeneği bir dik açı değildir.

  Açı değerini hesaplayalım: Köşeden çıkan vektörler $v_1 = (1-3, 2-5) = (-2, -3)$ ve $v_2 = (5-3, 2-5) = (2, -3)$.

  Skaler çarpım: $v_1 \cdot v_2 = (-2)(2) + (-3)(-3) = -4 + 9 = 5$.

  Vektörlerin büyüklükleri: $|v_1| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$. $|v_2| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

  Açı $\alpha_D$ için $\cos \alpha_D = \frac{v_1 \cdot v_2}{|v_1||v_2|} = \frac{5}{\sqrt{13}\sqrt{13}} = \frac{5}{13}$.

  $\alpha_D = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67.38^\circ$. Bu bir dik açı değildir.

Sonuç olarak, A ve B seçenekleri dik açıdır. C ve D seçenekleri ise dik açı değildir.

Soruda "hangisi dik açıya eş bir açı değildir?" diye sorulduğu ve tek bir doğru cevap beklendiği varsayıldığında, C ve D seçeneklerinin her ikisi de dik açı değildir. Ancak, bu tür sorularda bazen "dik açıdan en çok sapan" seçenek doğru kabul edilebilir.

• C seçeneğindeki açının dik açıdan sapması: $|90^\circ - 71.56^\circ| = 18.44^\circ$.
• D seçeneğindeki açının dik açıdan sapması: $|90^\circ - 67.38^\circ| = 22.62^\circ$.

D seçeneğindeki açı, dik açıdan C seçeneğindeki açıya göre daha fazla sapmaktadır (yani 90 dereceden daha uzaktır).

Cevap D seçeneğidir.