Verilen soruda, kareli kağıt üzerindeki noktalar kullanılarak oluşturulan açılardan hangisinin $\widehat{ABC}$ açısına eşit olduğunu bulmamız isteniyor. Açının büyüklüğünü belirlemek için, açıyı oluşturan ışınların yönlerini (vektörlerini) inceleyebiliriz. İki vektör arasındaki açının kosinüsü, vektörlerin skaler çarpımının, vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına bölümü ile bulunur: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$.

• Adım 1: $\widehat{ABC}$ açısını analiz edelim.

  Açının köşesi B noktasıdır.

  • BA ışını: B noktasından A noktasına doğru 2 birim sağa gitmektedir. Bu ışını temsil eden vektör $\vec{BA} = (2, 0)$'dır.
  • BC ışını: B noktasından C noktasına doğru 2 birim sola ve 2 birim aşağıya gitmektedir. Bu ışını temsil eden vektör $\vec{BC} = (-2, -2)$'dir.
• Adım 2: $\cos(\widehat{ABC})$ değerini hesaplayalım.
  • $||\vec{BA}|| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
  • $||\vec{BC}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
  • $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(-2) + (0)(-2) = -4 + 0 = -4$
  • $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{-4}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

  Bu kosinüs değeri, $\widehat{ABC}$ açısının $135^\circ$ olduğunu gösterir.

• Adım 3: Seçeneklerdeki açıları analiz edelim ve $\widehat{ABC}$ ile karşılaştıralım.

  Doğru cevabın A seçeneği olduğu bilgisi verildiği için, sadece A seçeneğini detaylı inceleyelim.

  • A) $\widehat{DFG}$ açısını analiz edelim.

    Açının köşesi F noktasıdır.

    • FD ışını: F noktasından D noktasına doğru 2 birim sola gitmektedir. Bu ışını temsil eden vektör $\vec{FD} = (-2, 0)$'dır.
    • FG ışını: F noktasından G noktasına doğru 1 birim sağa ve 1 birim aşağıya gitmektedir. Bu ışını temsil eden vektör $\vec{FG} = (1, -1)$'dir.
  • Adım 4: $\cos(\widehat{DFG})$ değerini hesaplayalım.
    • $||\vec{FD}|| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
    • $||\vec{FG}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
    • $\vec{FD} \cdot \vec{FG} = (-2)(1) + (0)(-1) = -2 + 0 = -2$
    • $\cos(\widehat{DFG}) = \frac{-2}{2 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

    Bu kosinüs değeri de $\widehat{DFG}$ açısının $135^\circ$ olduğunu gösterir.

Her iki açının da kosinüs değeri $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğundan, $\widehat{ABC}$ ve $\widehat{DFG}$ açıları birbirine eşittir.

Cevap A seçeneğidir.