Sorunun Çözümü
Çözüm:
- Topluluktaki kadın sayısını $K$, erkek sayısını $E$ ile gösterelim.
- Bir kadının kadın arkadaş sayısı $x$, erkek arkadaş sayısı $y$ olsun. Soruda $x=y$ olduğu belirtilmiştir.
- Tüm kadınların erkek arkadaş sayılarının toplamı $K \cdot x$ olur. Bu aynı zamanda toplam kadın-erkek arkadaşlık sayısıdır.
- Tüm erkeklerin kadın arkadaş sayılarının toplamı da toplam kadın-erkek arkadaşlık sayısına eşit olmalıdır. Bir erkeğin kadın arkadaş sayısı $z$ olsun. Tüm erkeklerin kadın arkadaş sayılarının toplamı $E \cdot z$ olur (ortalama olarak, veya her erkeğin eşit sayıda arkadaşı olduğu varsayılırsa).
- Bu durumda, $K \cdot x = E \cdot z$ eşitliği geçerlidir. Buradan $\frac{K}{E} = \frac{z}{x}$ elde ederiz.
- Arkadaşlık sayıları için bazı kısıtlamalar vardır:
- Bir kadın kendisiyle arkadaş olamayacağı için $x \le K-1$ olmalıdır.
- Bir kadının erkek arkadaş sayısı, toplam erkek sayısından fazla olamayacağı için $x \le E$ olmalıdır.
- Bir erkeğin kadın arkadaş sayısı, toplam kadın sayısından fazla olamayacağı için $z \le K$ olmalıdır.
- Arkadaşlık sayılarının sıfırdan büyük olduğunu varsayarsak (aksi halde toplulukta arkadaşlık olmaz), $x \ge 1$ ve $z \ge 1$ olmalıdır.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim ve $\frac{K}{E} = \frac{z}{x}$ ilişkisini kullanarak uygun $x, z, K, E$ değerlerini bulmaya çalışalım. En basit durum için $K, E$ oranının en sade hali olan $p/q$ ve $z, x$ oranının da $p/q$ olduğunu varsayalım. Yani $K=p$, $E=q$, $z=p$, $x=q$ alalım.
- Bu durumda kısıtlamalar şunlar olur:
- $q \le p-1$
- $q \le q$ (bu her zaman doğru)
- $p \le p$ (bu her zaman doğru)
- Dolayısıyla, $q \le p-1$ koşulunu sağlayan seçenek doğru olabilir. Bu koşul $p > q$ anlamına gelir.
- Seçenekleri kontrol edelim:
- A) $\frac{10}{11}$: Burada $p=10, q=11$. $q \le p-1 \implies 11 \le 10-1 \implies 11 \le 9$. Bu yanlıştır.
- B) $\frac{11}{10}$: Burada $p=11, q=10$. $q \le p-1 \implies 10 \le 11-1 \implies 10 \le 10$. Bu doğrudur.
- Örnek bir senaryo: $K=11$ kadın, $E=10$ erkek olsun. Her kadının $x=10$ kadın arkadaşı ve $y=10$ erkek arkadaşı olsun. Her erkeğin $z=1