Verilen kümeler:
- $A \cup B = \{2, 7, 8, 9, 10, 12\}$
- $A = \{7, 10, 12\}$
Buna göre $B$ kümesini bulmak için şu adımları izleyelim:
-
Adım 1: Birleşim kümesinin tanımını kullanma.
Birleşim kümesi $A \cup B$, A kümesindeki tüm elemanları ve B kümesindeki tüm elemanları içerir. Ayrıca, $A \cup B$ kümesinde olup A kümesinde olmayan her eleman, kesinlikle B kümesinde olmalıdır.
-
Adım 2: B kümesinde olması gereken zorunlu elemanları belirleme.
$A \cup B$ kümesindeki elemanlardan $A$ kümesinde olmayanları bulalım:
$\{2, 7, 8, 9, 10, 12\} \setminus \{7, 10, 12\} = \{2, 8, 9\}$
Bu elemanlar ($2, 8, 9$) $A$ kümesinde olmadığı halde $A \cup B$ kümesinde bulunduğundan, kesinlikle B kümesinde olmalıdır. Yani, B kümesi en azından $\{2, 8, 9\}$ elemanlarını içermelidir.
-
Adım 3: Seçenekleri kontrol etme.
Şimdi seçenekleri, B kümesinin $\{2, 8, 9\}$ elemanlarını içerip içermediğine ve $A \cup B$ kümesini doğru oluşturup oluşturmadığına göre inceleyelim:
- A) $B = \{2, 8\}$: Bu küme 9 elemanını içermiyor. Dolayısıyla $A \cup B = \{2, 7, 8, 10, 12\}$ olur ki bu verilen $A \cup B$ kümesiyle uyuşmaz (9 eksik).
- B) $B = \{2, 9, 10, 12\}$: Bu küme 8 elemanını içermiyor. Dolayısıyla $A \cup B = \{2, 7, 9, 10, 12\}$ olur ki bu verilen $A \cup B$ kümesiyle uyuşmaz (8 eksik).
- C) $B = \{2, 8, 9, 13\}$: Bu küme 13 elemanını içeriyor. Eğer 13, B kümesinde ise, $A \cup B$ kümesinde de olmalıdır. Ancak verilen $A \cup B = \{2, 7, 8, 9, 10, 12\}$ kümesinde 13 elemanı yoktur. Bu nedenle bu seçenek yanlıştır.
- D) $B = \{2, 8, 9, 10, 12\}$: Bu küme $\{2, 8, 9\}$ elemanlarını içeriyor. Şimdi $A \cup B$ kümesini hesaplayalım:
$A \cup B = \{7, 10, 12\} \cup \{2, 8, 9, 10, 12\} = \{2, 7, 8, 9, 10, 12\}$
Bu sonuç, soruda verilen $A \cup B$ kümesiyle tamamen aynıdır. Ayrıca, B kümesindeki tüm elemanlar ($2, 8, 9, 10, 12$) verilen $A \cup B$ kümesinde yer almaktadır.
Bu durumda, B kümesi D seçeneğindeki gibi olabilir.
Cevap D seçeneğidir.