Bir sayının 6 ile bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmesi gerekir.

• 2 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 2 ile tam bölünebilmesi için son rakamının (birler basamağının) çift olması gerekir.

Verilen sayı $27a45b$ olduğuna göre, $b$ rakamı çift olmalıdır. Yani $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

• 3 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.

Sayı $27a45b$ olduğundan, rakamları toplamı:

$2 + 7 + a + 4 + 5 + b = 18 + a + b$

Bu toplamın 3'ün katı olması gerekir. $18$ zaten 3'ün katı olduğu için, $a + b$ toplamının 3'ün katı olması yeterlidir.

$a + b = 3k$ (burada $k$ bir tam sayıdır)

• $a+b$ toplamının en büyük değerini bulma:

$a$ ve $b$ birer rakam olduğundan $0 \le a \le 9$ ve $0 \le b \le 9$ olmalıdır.

$a+b$ toplamının en büyük değerini bulmak için $a$ ve $b$ rakamlarını olabildiğince büyük seçmeliyiz.

Yukarıdaki kurallara göre:

• $b$ çift bir rakam olmalı ve en büyük değeri almalı. Bu durumda $b = 8$ olur.
• $a+b$ toplamı 3'ün katı olmalı. $b=8$ ise, $a+8$ toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• $a$ bir rakam olmalı ve en büyük değeri almalı.

$a+8$ toplamının 3'ün katı olması için $a$'nın alabileceği en büyük değerleri kontrol edelim:

• Eğer $a=9$ ise, $a+8 = 9+8 = 17$ (3'ün katı değil)
• Eğer $a=8$ ise, $a+8 = 8+8 = 16$ (3'ün katı değil)
• Eğer $a=7$ ise, $a+8 = 7+8 = 15$ (3'ün katı)

Buna göre, $a$'nın alabileceği en büyük değer $7$'dir.

Bu durumda $a=7$ ve $b=8$ için $a+b$ toplamı $7+8=15$ olur.

Cevap D seçeneğidir.