Sorunun Çözümü
- F diklik merkezi olduğundan, AD ve BE yüksekliklerdir. Bu durumda $AD \perp BC$ ve $BE \perp AC$ olur.
- $\triangle AEF$ üçgeninde $m(\widehat{AEF}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{AFE}) = 60^\circ$ verilmiştir. Üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{FAE}) = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ bulunur. Yani $m(\widehat{CAD}) = 30^\circ$.
- $\triangle ABD$ üçgeninde $m(\widehat{ADB}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{BAD}) = 20^\circ$ verilmiştir. Üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{ABD}) = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$ bulunur. Yani $m(\widehat{ABC}) = 70^\circ$.
- $\triangle ABC$ üçgeninin $A$ köşesindeki açısı $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{CAD}) = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$ olur.
- Diklik merkezinin bir özelliği olarak, iki yüksekliğin kesişim noktasında oluşan açı, üçüncü köşedeki açının bütünleyeni ile ilişkilidir. $m(\widehat{AFC}) = 180^\circ - m(\widehat{ABC})$ formülü kullanılır.
- $m(\widehat{AFC}) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$ bulunur.
- Şekilden görüldüğü üzere, $m(\widehat{AFC}) = m(\widehat{AFE}) + m(\widehat{CFE})$ eşitliği vardır.
- $110^\circ = 60^\circ + \alpha$ denklemini çözerek $\alpha = 110^\circ - 60^\circ = 50^\circ$ bulunur.
- Doğru Seçenek D'dır.